高中数学非课本上的公式_高中数学公式百度文库

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高中数学非课本上的公式,结论和解题技巧

数列的特征方程：

等差数列：A(n+1)-An=d,A(n+2)-A(n+1)=d

A(n+2)-2A(n+1)+An=0

x^2-2x+1=0 ,(x-1)^2=0 ,x=

1An=a+bn ,a,b 为常数。

等比数列：A(n+1)=qAn

x=q ,An=a*q^n

一般数列：A(n+2)-(c1+c2)A(n+1)+c1*c2An=0

特征方程为：x^2-(c1+c2)x+c1c2=0

An=a*c1^n+b*c2^n ,a,b为待定常数。

当c1=c2时，An=(a+bn)c^n

数列不动点理论：

A(n+1)=f(An)/g(An)的不动点为x1,x

2则[A(n+1)-x1]/[A(n+1)-x2]

={[f(An)/g(An)]-c1}/{[f(An)/g(An)]-c2}

=a*[An-x1]/[An-x2]

Bn=[An-x1]/[An-x2]为等比数列。

cosπ/3=1/2

cosπ/5-cos2π/5=1/2

cosπ/7-cos2π/7+cos3π/7=1/2

cosπ/9-cos2π/9+cos3π/9-cos4π/9=1/2

直线方程：Ax+By+c=0

(A,B)为直线的法向量，如果P(x0,y0)在直线上Ax0+By0+C=0,设(x,y)为直线上任一点，(x-x0,y-y0)

(A,B)*(x-x0,y-y0)=Ax+By-(Ax0+By0)=Ax+By+C=0

(A,B)⊥(x-x0,y-y0)，(A,B)为直线的法向量。

柯西不等式的简介

柯西不等式的一般证法有以下几种：

■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai *bi)^2.我们令 f(x)= ∑(ai + x * bi)^2 =(∑bi^2)* x^2 + 2 *(∑ai * bi)* x +(∑ai^2)

则我们知道恒有 f(x)≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 *(∑ai * bi)^2-4 *(∑ai^2)*(∑bi^2)≤ 0.于是移项得到结论。

■②用向量来证.m=(a1,a2......an)n=(b1,b2......bn)

mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．

因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)

这就证明了不等式．

柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．

[编辑本段]【柯西不等式的应用】

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

■巧拆常数：

例：设a、b、c 为正数且各不相等。

求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)

分析：∵a、b、c 均为正数

∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又 9=(1+1+1)(1+1+1)

证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]

[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9

又 a、b、c 各不相等，故等号不能成立

∴原不等式成立。＝