数学归纳法基础例题_数学归纳法经典例题

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典型例题

用数学归纳法证明等式

例１用数学归纳法证明

分析：用数学归纳法证明一个与整数有关的命题，关键是第二步，要注意当 时，等式两边的式子与 时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．

证明：（1）当

（2）假设当 时，左边 时，等式成立，即，右边，赞美式成立．

则当 时，即当时，等式成立．，等式成立．根据（1）、（2）可知，对一切

说明：解题过程中容易将 时，等式右边错写为，从而导致证明错误或无法进行．特别要注意等式右边的每一个式子都在随 的变化而变化．

猜想数列通项、利用归纳法证明不等式

例2 设数列

（1）当

（2）当 满足 时，求，并由此猜想出的一个通项公式；时，证明对所有的，有（ⅰ）

（ⅱ）

分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．

解：（1）由

由

由 得，得的一个通项公式： 得由此猜想

（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：

①当

②假设当，不等式成立．时不等式成立，即

也就是说，当

根据①和②，对于所有

（ⅱ）由，有 及（ⅰ），对

……，有，那么，时，于是

说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题． 例3.用数学归纳法证明:

an1.求证:Sn介于2(11)与2n之间.n

证明：当n=1时

有Sn=S1=a1=1/1=1,2（√（n+1）-1）=2√2-21

即2（√（n+1）-1）

当n=2时

有Sn=S2=a1+a2=3/2,2（√（n+1）-1）=2√3-23/2

即2（√（n+1）-1）

假设当n=k时2（√（k+1）-1）

则当n=k+1时有

Sk+1= Sk+a1+k= Sk+1/（k+1）

2（√（n+1）-1）=2（√（k+2）-1）

而2√n=2√（k+1）> Sk+1/（k+1）即2（√（k+2）-1）