高考数学不等式部分知识点梳理_高考数学不等式知识点

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高考数学不等式部分知识点梳理

一、不等式的基本概念

1、不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.2、不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.3、同向不等式与异向不等式.4、同解不等式与不等式的同解变形.二、不等式的基本性质

1、abba（对称性）

2、ab,bcac3、a（传递性）bacbc（加法单调性）

（同向不等式相加）

4、ab,cdacbd

（异向不等式相减）

5、ab,cdacbd6、a.b,c0acbc

（乘法单调性）

7、ab,c0acbc

（同向不等式相乘）

8、ab0,cd0acbd9、ab0,0cdab（异向不等式相除）cd10、ab,ab011（倒数关系）ab11、ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）

（开方法则）

12、ab0a(nZ,且n1)

三、几个重要不等式

（1）若aRa

（2）a、bR0，a20 ,则a2b22ab(或a2b222ab)（当仅当a=b时取等号）

ab（当仅当a=b时取等号）.2（3）如果a,b都是正数，那么

极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则○1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；○2如果S是定值, 那么当x=y时，P-1-的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.（4）含立方的不等式：

①a3b3≥a2bab

2②由a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abacbc)，可推出a3b3c3≥3abc；

(abc0等式即可成立,abc或abc0时取等);

③如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么abc（当且仅当a=b=c时取“=”号）

3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）含绝对值的不等式：①若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|②

四、几个著名不等式 a1a2a3a1a2a

3（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么 2aba2b2ab1122（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算

术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）： 2222abababab22ab(（当a = b时，())ab222

22a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)33

注：例如：(acbd)222...an幂平均不等式：a12a21(a1a2...an)2 n(a2b2)(c2d2).11111112(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n常用不等式的放缩法：①

n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,...,anR,b1,b2,b3,...,bnR;则

222222(a1b1a2b2a3b3...anbn)2(a12a2a3...an)(b12b2b3...bn)；当且仅当

aa1a2a3...n

b1b2b3bn时取等号。

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数：若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)则称f(x)为凸（或凹）函数.).2

2五、不等式证明的几种常用方法：比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.六、不等式的解法：

（1）整式不等式的解法（根轴法）。步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例：①一元一次不等式：解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

(1)a0axb分(2)a0

(3)a0情况分别解之。

22axbxc0(a0)分aaxbxc0(a0)00②一元二次不等式：或及a情况分别解之，还要注

00b4ac意的三种情况，即或0或，最好联系二次函数的图象。

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 2

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0 f(x)0g(x)g(x)0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1f(x)0定义域 g(x)0f(x)g(x)

○2f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0 f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x);

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

（5）对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)

（6）含绝对值不等式 f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化 ○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1x)21124

2x(1x)(1x)()322327

22x2(1x2)(1x2)1234②yx(1x)y()y223272

类似于

ysinxcos2xsinx(1sin2x)，③|x1||x||1|(x与1同号，故取等)2 xxx