典型例题三_应用题典型例题三

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典型例题三

a4b4ab4例3 对于任意实数a、b，求证()（当且仅当ab时取等号）22

分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有（22ab4)，2展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：ab2ab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。

证明：∵ ab2ab（当且仅当ab时取等号）

两边同加(ab):2(ab)(ab)，44442222222

a4b4a2b2

2即：()（1）22

又：∵ab2ab（当且仅当ab时取等号）

两边同加(ab):2(ab)(ab)2222222

a2b2ab2∴ ()22

a2b2

2ab4)()（2）∴(22

a4b4ab4()（当且仅当ab时取等号）由（1）和（2）可得． 22

说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．