必修五不等式知识汇总_必修五不等式知识点

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必修五不等式知识汇总

1．实数的三歧性：任意两个实数a、b，a>b，a＝b，a0⇔a>ba－b＝0⇔a＝b

a－b

.2．不等式的性质： 性质1(对称性)a>b⇔bb，b>c⇒a>c； 性质3(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c.移项法则：不等式中的任意一项都可以变成它的相反数后从一边移到另一边．

a>ba>b⇒acbc；c>0c

性质5(同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

性质6(同向可乘性)a>b>0⇒ac>bd； c>d>0

性质7(不等式的乘方法则)a>b>0⇒an>bn(n∈N＋且n>1)；

性质8(不等式的开方法则)a>b>0⇒a>b(n∈N＋且n>1)．

3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：

4.常见不等式的解法：

(1)分式不等式的解法

fxA先通分化为一边为一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．⇔A·B>0；Bgx

B≥0B≤0A·A·AAA⇔A·B

如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．

(2)高次不等式的解法

只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．如(x－1)(x＋1)2(x＋2)3>0穿根时，－2点穿过，－1点返回，故解为x1.(3)含绝对值不等式的解法：一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论，二是平方法．

(4)含根号的不等式解法，一是换元法，二是平方法．

(5)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式Δ、指对不等式中的底数含参数等)．

(6)超越不等式问题可用图象法．

5．二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C

(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；

(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．

(3)若Ax0＋By0＋C>0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C

(4)

主要看不等号与B的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B值判断法．

一般地说，直线不过原点时用原点判断法或B值判断法，直线过原点时用B值判断法或用(1,0)点判断．

注意：画不等式Ax＋By＋C≥0(或Ax＋By＋C≤0)所表示的平面区域时，区域包括边界直线Ax＋By＋C＝0上的点，因此应将其画为实线．把等号去掉，则直线为虚线．

6．线性规划的有关概念

(1)约束条件——目标函数中的变量所要满足的不等式组．

(2)线性目标函数——目标函数关于变量是一次函数．

(3)线性约束条件——约束条件是关于变量的一次不等式组．

(4)可行解——满足线性约束条件的解．

(5)可行域——由所有可行解组成的集合．

(6)最优解——在可行域中使目标函数取得最值的解．

(7)线性规划问题——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

7．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤

(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式所表示的平面区域作出，找出其公共部分．

(2)作出目标函数的等值线．

(3)确定最优解．

①在可行域内平行移动目标函数等值线，最先通过或最后通过的顶点便是最优解对应的点，从而确定最优解．

②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1、l2、…、ln的斜率分别为

k1

8．(1)重要不等式a2＋b2≥2a·b(a、b∈R)；

a＋b＋(2)基本不等式ab(a、b∈R)； 2(3)均值定理．

①x、y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值P.S2②x、y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值.4(4)证明不等式常用方法有：综合法、比较法、分析法、反证法及利用函数单调性等． 误区警示：

1．两个同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需要求差或商时，可利用不等式的性质转化为同向不等式相加或相乘．

2．a≥b的含义是“a>b”或“a＝b”，只要其中一个成立，则a≥b就成立．

3．特别注意不等式性质成立的条件．对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间关系发生的变化；避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误，特别注意关于符号的限制条件．

a>b>0a>b如：a>b1111⇒但a>b⇒是错误的，⇒ac>bd是成立的，但ababc>d>0c>dab>0

⇒ac>bd是错误的．a>b>0⇒an>bn(n∈N*)是正确的，但a>b⇒an>bn是错误的，若规定n为正奇数时，a>b⇒an>bn是正确的．

4．解决含有绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解．脱去绝对值符号的方法主要有：

(1)定义法：|x|≤a(a>0)⇔－a≤x≤a，|x|≥a(a>0)⇔x≥a或x≤－a分段讨论，含多个绝对值符号(高考限于2个)的情形，可令每一个为0，找出分界点再分段，特别注意a>0的条件．

(2)平方法：只有在不等式两端同号的情况下才适用．

(3)客观题还常结合几何意义求解．

5．在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等．

其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键． 多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立条件的一致性．

6．①写一元二次不等式的解集时，一定要将图象的开口方向与判别式结合起来． ②当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的情形．如ax2－ax－1

－b＋集为R，求实数a的范围．解答时应对a＝0，a≠0进行分类讨论．还应注意a

③解对数不等式时，莫忘定义域的限制．

④换元法解不等式时，要注意把求得的新元的范围等价转化为原来未知数的取值范围． ⑤解不等式的每一步变形要保持等价．

7．解线性规划问题时：

①在求解应用问题时要特别注意题目中变量的取值范围，防止将范围扩大．

②对线性目标函数z＝Ax＋By中的B的符号一定要注意．

当B>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当B

③解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点．若实际问题要求的最优解是整数解．而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当调整．其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是在可行域内寻找.但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优点并不明显易辨时，应将最优解附近的整点都找出来，然后逐一检查，以“验明正身”．