不等式 第17课时_第17课时三角形

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第十七教时

教材：含绝对值的不等式

目的：要求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质，并能用来证

明有关含绝对值的不等式。

过程：

一、复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法当a>0时，|x|aaxa|x|axa或xa

二、定理：|a||b||ab||a||b|证明：∵

|a|a|a|

|b|b|b|

(|a||b|)ab|a||b|

|ab||a||b|①

又∵a=a+b-b|-b|=|b|

由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b|② 综合①②: |a||b||ab||a||b| 注意：1 左边可以“加强”同样成立，即

|a||b||ab||a||b|

2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

3 a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”

推论1：|a1a2an|≤|a1||a2||an| 推论2：|a||b||ab||a||b|

证明：在定理中以-b代b得：|a||b||a(b)||a||b|

即：|a||b||ab||a||b|

三、应用举例

例一 至 例三见课本P26-27略 例四 设|a|

证明：当a+b与a-b同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|

当a+b与a-b异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|

例五 已知f(x)x2当ab时 求证：|f(a)f(b)||ab|证一：|f(a)f(b)||a2

1b2

1|

a21b21a2

1b2



1|a2b2|a21|(ab)(ab)|

b21

a2b2



|ab||(ab)|

|a||b|



(|a||b|)|ab|

|a||b|

|ab|

证二：（构造法）

如图：OAf(a)a

2A

B

OBf(b)b2

|AB||ab|

O

a

b

由三角形两边之差小于第三边得：|f(a)f(b)||ab|

四、小结：“三角不等式”

五、作业：P28 练习和习题6.5