张恭庆泛函分析答案(民大考试重点版)（优秀）_泛函分析答案张恭庆

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1.1.6

1.1.7

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1.2.2

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1.2.3

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1.2.4

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2015年中南民大泛函分析考试重点课后答案 1.3.3

1.3.5

1.3.8

2015年中南民大泛函分析考试重点课后答案 1.3.9

2015年中南民大泛函分析考试重点课后答案

1.5.3证明：因为C是紧集，所以C是闭集．

因为C是紧集，故C的任意子集都列紧．而T(C) C，故T(C)列紧．

于是，由Schauder不动点定理，T在C上有一个不动点．

[Schauder定理：B*空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点] 答案2

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1.5.6证明：设B = { uC[0, 1] | [0, 1] u(x)dx = 1，u(x) 0 }，则B是C[0, 1]中闭凸集．

设max(x, y)[0, 1][0, 1] K(x, y)= M，min(x, y)[0, 1][0, 1] K(x, y)= m，[0, 1]([0, 1] K(x, y)dy)dx = N，max x[0, 1] | [0, 1] K(x, y)dy |= P．令(S u)(x)=([0, 1] K(x, y)u(y)dy)/([0, 1]([0, 1] K(x, y)u(y)dy)dx)则[0, 1](S u)(x)dx = 1，u(x) 0；

即S uB．因此S是从B到B内的映射． u, vB，|| [0, 1] K(x, y)u(y)dy  [0, 1] K(x, y)v(y)dy || = || [0, 1] K(x, y)(u(y) v(y))dy ||

= max x[0, 1] | [0, 1] K(x, y)(u(y) v(y))dy |  M · || u  v ||；

因此映射u  [0, 1] K(x, y)u(y)dy在B上连续．

类似地，映射u  [0, 1]([0, 1] K(x, y)u(y)dy)dx也在B上连续．所以，S在B上连续．下面证明S(B)列紧．

首先，证明S(B)是一致有界集．uB，|| S u || = ||([0, 1] K(x, y)u(y)dy)/([0, 1]([0, 1] K(x, y)u(y)dy)dx)|| = max x[0, 1] | [0, 1] K(x, y)u(y)dy |/([0, 1]([0, 1] K(x, y)u(y)dy)dx)(M ·[0, 1] u(y)dy |/(m [0, 1]([0, 1] u(y)dy)dx)= M/m，故S(B)是一致有界集．

其次，证明S(B)等度连续．uB，t1, t2[0, 1]，|(S u)(t1)(S u)(t2)|

= | [0, 1] K(t1, y)u(y)dy  [0, 1] K(t2, y)u(y)dy |/([0, 1]([0, 1] K(x, y)u(y)dy)dx) [0, 1] | K(t1, y) K(t2, y)| u(y)dy /(m[0, 1]([0, 1] u(y)dy)dx)(1/m)· max y[0, 1] | K(t1, y) K(t2, y)| 由K(x, y)在[0, 1][0, 1]上的一致连续性， > 0，存在 > 0，使得(x1, y1),(x2, y2)[0, 1]，只要||(x1, y1)(x2, y2)||

故只要| t1  t2 |

故S(B)是等度连续的．所以，S(B)是列紧集．

根据Schauder不动点定理，S在C上有不动点u0．令 =([0, 1]([0, 1] K(x, y)u0(y)dy)dx．

则(S u0)(x)=([0, 1] K(x, y)u0(y)dy)/ =(T u0)(x)/．

2015年中南民大泛函分析考试重点课后答案因此(T u0)(x)/ = u0(x)，T u0 =  u0．显然上述的和u0满足题目的要求．

答案二

1.6.1(极化恒等式)证明：x, yX，q(x + y) q(x  y)= a(x + y, x + y) a(x  y, x  y)

=(a(x, x)+ a(x, y)+ a(y, x)+ a(y, y))(a(x, x) a(x, y) a(y, x)+ a(y, y))= 2(a(x, y)+ a(y, x))，将i y代替上式中的y，有

q(x + i y) q(x  i y)= 2(a(x, i y)+ a(i y, x))= 2(i a(x, y)+ i a(y, x))，将上式两边乘以i，得到i q(x + i y) i q(x  i y)= 2(a(x, y) a(y, x))，将它与第一式相加即可得到极化恒等式．

1.6.2证明：若C[a, b]中范数|| · ||是可由某内积(· , ·)诱导出的，则范数|| · ||应满足平行四边形等式．而事实上，C[a, b]中范数|| · ||是不满足平行四边形等式的，因此，不能引进内积(· , ·)使其适合上述关系．范数|| · ||是不满足平行四边形等式的具体例子如下：

设f(x)=(x – a)/(b – a)，g(x)=(b – x)/(b – a)，则|| f || = || g || = || f + g || = || f – g || = 1，显然不满足平行四边形等式．

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2.1.3

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2.3.7

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