固体物理大题整理_固体物理题库答案

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双原子链，，10，质量均为m，最近邻a2,求q0,2处的q,画出色散关系。d2mU2n10(U2n1U2n)(U2nU)解：dt212nmd2U2n1dt2(U2n2U2n1)10(U2nU2n1)i(qnat)U2neUi(qnat)2n1em210()(eiqa)m2(eiqa)10()(11m2)(10eiqa10)0(eiqa10)(11m2)0m2)2(eiqa10)(eiqa10)012 m11(10110eiqa10eiqa)2 =1m11(10120(cosqa)2

220q0时，2 +=11m +=,q时，m2 022 2m一维单原子链，晶格常数a，质量M,最近邻力常数1，次近邻2。试求一维原子链的色散关系；长波极限下声波的速度和一维原子链的弹性模量。解：Md2Undt21(Un1+Un-12Un)2(Un2Un22Un)

得 ：Unei(qat)M2U2iqan1(eiqaeiqa2)Un2(ee2iqa2)UnM2=21(1cosqa)22(1cos2qa)112 =21sinqa2222sinqaMM22f2T2VV=22(1)2sin2a11222aM2(M)sin2(11当0时，V=1)222sina222aM2(M)sin112 =1a222MaMV=YM,YV2=a2M1222a=a1222 二维立方点阵，m,a,最近邻，每个原子垂直点阵平面作横振动，证明：m222cosqxacosqya.证明：设U,m,则：f,mU1,mU,mU1,mU,m+U,m1U,m+U,m-1U,m2mdU,md2tU1,m4U,mU,m1U,m1设UAei(qxaqymat),mm2eiqxaeiqxaeiqyaeiqya4 =2cosqxacosqya4 =2(cosqxacosqya4)=2(cosqxcosqya4)m22(2cosqxacosqya)(113.6.一维无限长简单晶格，若考虑原子间的长程作用力，第n个与第nm个原子间的恢复力系数为m，试求格波的色散关系。解：设原子的质量为M,第n个原子对平衡位置的位移为un,第nm个原子对平衡位置的位移是Unm(m1,2,3),则第nm个原子对第n个原子的作用力为fn,mm(UnmUn)m(UnmUn)=m(UnmUnm2Un)，第n个原子受力的总合为Fnfm1n,mU2Um1m(Unmnmn),因此第n个原子的运动方程为：Md2U2nd2tm1m(UnmUnm2Un)将格波的试解UnAei(qnat)代入运动方程，得：M2em1m(eiqmaiqma2)=2m(cosqma1)m1 =-4qmam1msin2(2)由此得格波的色散关系为：242qmam1msin2.2.8.一维离子链，其上等间距载有2N个离子，设离子间的泡利排斥势只出现在最近邻离子之间，并设离子电荷为q,试证平衡间距下U(R2Nq2ln210)R1n；0令晶体被压缩，使R0R0(1),试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力做功的主2项为c,其中cn1qln22R2；0求原子链被压缩了2NR0e(e1)时的外力.解答：(1)因为离子间是等间距的，且都等于R，所以认定离子与第j个离子的距离rj总可表示成为rjajR,aj是一整数，于是离子间总的互作用势能U(R)=2N2'qq2'2rbnN(12bjjrjRja)Rnj其中+、-号分别对应相异离子和相同离子的作用.一维离子的晶格的马德隆常数为'(1a)=2ln2.jj利用平衡条件dUdRR00n得到b=Nq2ln2Rn110n,U(R)2Nq2ln2(1RR0nRn).在平衡间距下U(R2Nq2ln210)-R(1).0nU(R)U(RdU1d2将相互作用势能在平衡间距附近展成级数U0)(dR)R(RR0)2(dR2)R(RR0)2+，00由外力作的功等于晶体内能的增量，可得外力作之功的主项为)1d2W=U(R)-U(RU02(dR2)R(RR0)2,0其中利用了平衡条件.将R=R0(1)代入上式，得到W=122n1qln2(2NRR20).0晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项W1n1q2ln2NR2R2020令cn1q2ln2R2(CGS)0得到在晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项为c2.设=e时外力为Fe，由此在弹性范围内，外力与晶体的形变成正比，所以F(2NR0),Fe(2NR0e),其中为比例系数.离子键被压缩2NR0e过程中外力作的功W2NR0ee0Fdxe(2NR0)2NR0d(2NR0)2122e1022NR0eFe.由于Wceq2ln2n1ee22NR0e,所以离子键被压缩了2NR0e时的外力为Fece=R2.0(2)

(1)(2)(3)(3)2.10.两个原子间互作用势为Urr2r8,当原子构成一稳定分子时，核间距为3，解离能为4eV,求和.解答：当两原子构成一稳定分子即平衡时，其相互作用势能取极小值，于是有dur28dr30rrr0r9001460,1而平衡时的势能为ur0r2834r2,20r00根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所需要的能量，其值等于ur.已知解离能为4eV,因此得30424eV.30再将reV1.602101203,1erg代入(1),(3)两式，得=7.6910-27ergcm2,=1.4010-72ergcm8.3.5.设有一长度为L的一价正负离子构成的一维晶格，正负离子间距为a，正负离子的质量分别为mme2b+和,近邻两离子的互相作用势为u(r)=-rrn，式中e为电子电荷，b和n为参量常数，求参数b与e,n及a的关系；恢复力系数；解答：(1)若只计算近邻离子的互作用，平衡时，近邻两离子的互作用势能

2n1取极小值，即要求du(r)dr0，由此得到b=ea.ran恢复力系数=d2u(r)e2(dr2n1)3.raa5.1.将布洛赫函数中的调制因子uk(r)展成傅里叶级数，对于近自由电子，当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下，此级数有何特点？在紧束缚模型下，此级数有有何特点？解答：由布洛赫定理可知，晶体中电子的波函数k(r)eikruk(r),对比《固体物理教程》(5.1)和(5.39)式可得u1k(r)N(Kam)eiKmr.m对于近自由电子，当电子波矢远离布里渊区边界时，它的行为与自由电子类似，uk(r)近似一常数.因此，uk(r)得展开式中，除了a(0)外，其他项可忽略.当电子波矢落在倒格矢Kn正交的布里渊区边界时，与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射，uk(r)展开式中除了a(0)和a(Kn)两项外，其他项可忽略.在紧束缚模型下，电子在格点R2n附近的几率k(r)大，偏离格点Rn的几率k(r)2小.对于这样的波函数，其傅里叶级数的展式包含若干项.也就是说，紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.5.2.布洛赫函数满足(r+Rn)eikRn(r),何以见得上式中k具

有波矢的意义？解答：人们总可以把布洛赫函数(r)展成傅里叶级数(r)=a(k'Ki(k'Kh)rh)e,h其中k'是电子的波矢.将(r)代入(r+Rnn)=eikR(r)，得到eik'RneikRn.其中利用了K'hRn=2p(p是整数),由上式可知，k=k，即k具有波矢的意义.5.3.波矢空间遇倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准确连续的？解答：波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为b1,b2,b3,而波矢空间的基矢分别为b1N,b2bN1,N2,N3分别是沿正格子基矢a1,a2,a3方向晶体1N,32N;3的原胞数目.由此得平衡时两原子间的距离为r(1)(2)(2)倒格空间中一个倒格点对应的体积为b*1(b2b3),波矢空间中一个波矢点对应的体积为b1Nb2b3*N,即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个1N2N3倒格点对应的体积的1N.由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的.也就说，波矢点在倒格空间看是极其稠密 的.因此，在波矢空间内的状态点看成是准连续的.5.4.与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？解答：当电子的波矢k满足关系式Kn(k+Kn2)=0时，与布里渊区边界平行且垂直于Kn的电子具有强烈的散射作用.此时电子的波矢很大，波矢的末端落在了布里渊区边界上，k垂直与布里渊区边界的分量的模等于Kn2.1.10.求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族(h1h2h3)的面间距.解答：面心立方正格子的原胞基矢为aa1=2(j+k),aa2=2(ki),aa3=2(ij).由b2a2a31,b2a3a1,b32a1a22,可得其倒格基矢为b=2a(-i+j+k),b2aj+k),b212=(i-3=a(i+j-k).倒格矢Khh1b1+h2b2+h3b3.根据《固体物理教程》(1.16)式d2h1h2h3K,h的面心立方晶体晶面族(h1h2h3)的面间距d2h1h2h3Kha.(h1h222h3)(h1h2h3)(h1h2h3)212体心立方正格子原胞基矢可取为a1=a2(-i+j+k),aa2=2(i-j+k),a3=a2(i+j-k).其倒格子基矢为b221=a(j+k),b2=2a(k+i),b3=a(i+j).则晶面族(h1h2h3)的面间距为d2h1h2h3Ka1.h(h222h3)(h3h1)(h1h2)2211001.18.利用转动对称操作，证明六角晶系介电常数矩阵为0220.0033解答：由《固体物理教程(1.21)式可知，若A是一旋转对称操作，则晶体的介电常数ε满足εAεAt.对六角晶系，绕x(即a)轴旋180和绕z(即c)轴旋转120都是对称操作，1300220坐标变换矩阵分别为A1x010Az3.0012120.001111213假设六角晶系的介电常数为212223.3132331313则有εAt11121112xεAx得2122232123.31322233313233可见12=0，13=0，21=0，33=0.11001100即02223.将上式代入εAt得zεAz002223323303233111+322-344411+34-322223-34311+3422411+1422-1223。-31232-23233由上式可得23=0，32=0，11=22.1100于是得到六角晶系的介电常数0220.0033