对数的概念_对数概念

对数的概念由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“对数概念”。

《对数的概念》教学设计

一、教案背景

（对数的起源）介绍对数产生的历史背景 与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。

结合高一数学组承担的课题《教 师 课 堂 教 学 行 为 的 评 价、反 思 及 有 效 教 学 研 究》通过教师的课堂教学行为，使学生充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权，提高课堂教学效率。

二、教学课题

《对数的概念》教学设计

三、教材分析

《课程标准》指出，通过必要地数学学习，获得必要的基础知识和基本技能，理解基本的数学概念，数学结论的本质，了解概念，结论等产生的背景，体会所蕴含的数学思想方法。通过探究活动，体会数学发现和创造的历程。提高运算，处理数据，分析、解决问题的能力。本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。在本模块中，对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

知识目标：1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系；2.掌握对数式与指数式的互化；理 解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。

能力目标： 1.通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；2.通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。培养学生的类比、分析、归纳，等价转化能力。

情感目标：培养学生大胆探索，不断创新的研究精神；培养学生严谨的思维品质。使学生认识到

数学的科学价值，应用价值和文化价值。重点 ：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。难点 ：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。

四、教学方法

探索、类比、等价转化、归纳等数学方法。

五、教学过程 创设情境，引入新课

引例

1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。（1）取5次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺? 分析:(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得

12x5132

10.125(2)可设取x次,则有 2

10.125 抽象出: 2xx?

2、根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展的前景分析》，2002年我国GPD为a亿元，如果每年平均增长7.3%，那么经过多少年GPD是2002年的2倍？ x(17.3%)2 分析:设经过x年,则有

抽象出:(17.3%)x2x?

【让学生根据题意，设未知数，列出方程。这两个例子都出现指数是未知数x的情况，让学生思考如何表示x，激发其对对数的兴趣，培养学生的探究意识。生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的。】

创新探究，进入新课

（一）、对数的概念

ba一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N, 就是 =N 那么数 b叫做 a为底 N的对数,记作logaNb，a叫做对数的底数,N叫做真数。

注意：①底数的限制:a>0且a≠1 ②对数的书写格式

logaN

（二）、对数式与指数式的互化

【正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定作准备。同时注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误。】

幂底数 ← a → 对数底数 指数 ← b → 对数 幂 ← N → 真数 思考：

①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？ ②是否是所有的实数都有对数呢？ 结论：负数和零没有对数

【让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a、b和N位置的不同，及它们的含义。互化体现了等价转化这个重要的数学思想。】

（三）、两个重要对数 ①常用对数： 以10为底的对数②自然对数：

以无理数e=2.71828„为底的对数的对数log10N, 简记为: lgN

logeN

简记为: lnN.注意：两个重要对数的书写 1 将下列指数式写成对数式：

42（1）16（2）

33b127

a5（3）

10.4520（4）2将下列对数式写成指数式：

（1）log51253（2）（3）log10a1.069求下列各式的值：

log1323

（1）log264（2）log927

【本练习让学生独立阅读课本P63例1和例2后思考完成，从而熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数的概念的理解。并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题。培养学生严谨的思维品质。】(四)、对数的性质 探究活动1 求下列各式的值：

（1）log31 0（2）lg1 0（3）log0.51 0（4）ln1 0 思考：你发现了什么？

结论：“1”的对数等于零，即loga10 类比： a探究活动2 求下列各式的值：

01

（1）log33 1（2）lg10 1（3）log0.50.51（4）lne 1 思考：你发现了什么？ 结论：底数的对数等于“1”，即探究活动3 求下列各式的值：

logaa1 类比： a1a

log232 3（2）7（1）log0.4890.4 89（3）

log70.6 0.6 思考:你发现了什么?

logaNaN结论：对数恒等式:

探究活动4 求下列各式的值:

54log0.9 5 log3（1）3 4（2）0.98lne 8（3）思考:你发现了什么? 结论：对数恒等式: logaann

【探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论。通过练习与讨论的方式,让学生自己得出结论,从而更能好地理解和掌握对数的性质。培养学生类比、分析、归纳的能力。最后，将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质。】 小结：

负数和零没有对数

“1”的对数等于零，即loga10 底数的对数等于“1”，即logaa1

logaNaN 对数恒等式: 对数恒等式: logaann

【将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质。】

（五）、巩固练习

1、课本P64 练习

2、提高训练

(1)已知x满足等式log5log3(log2x)0，求log16（2）求值：log2.56.25lgx值

1lne 100【巩固指数式与对数式的互化，巩固对数的基本性质及其应用。】 归纳小结，强化思想

1、引入对数的必要性----对数的概念

一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是 对数。记作

ab=N，那么数b叫做以a为底，N的 logaNb2、指数与对数的关系（板书）

3、对数的基本性质 负数和零没有对数 loga10 logaa1

logaN对数恒等式: aN logaann

【总结是一堂课内容的概括，有利于学生系统地掌握所学内容。同时，将本节内容纳入已有的知识系统中，发挥承上启下的作用。为下一课时对数的运算打下扎实的基础。】 课程结束，布置作业

一、课本P74习题2.2 A组 第1、2题

3x2ylog2x,log3yaaa

二、已知，求的值

三、求下列各式的值：

log23（1）2（2）22log253

2log9512log433（3）（4）

【作业是学生信息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题，弥补教学中的不足。】

六、教学反思

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。在整个教学中，以学生为主体，以小组讨论的形式学习本课内容，培养了学生严谨的数学素养和勇于探索的创新精神。

附件1：对数的起源 对数产生于以加减运算代替乘除运算的探索中。

以加（减）代乘（除）的想法早就存在了．一个简单的三位数乘法（例如265×438），一般需要四次运算才能得出结果，但同样数字的加法却只需一次运算．涉及的数字越大，则乘（或除）所需要的运算次数比加（或减）所需的运算次数相差得越多．因此，在6世纪以前，就曾有人作尝试，试图实现以加（减）代乘（除）．但由于压力不大，并不感到非如此不可，因此未能达到目的．

16世纪中叶，由于天文和航海而引起的大数计算日益激增，这种计算不仅花去了人们大量的精力，而且难以精确，于是，以加（减）代乘（除）的设想再次被提出，并被作为必须解决的问题加以考虑了．

起初，曾采用以下两个公式来实现乘除向加减的转化：

但由于它们都需要通过另一种运算（三角或平方）来实现转化，并不真正地提高效率，所以很快就被搁置不用了．

能不能使乘（除）直接向加（减）转化呢？能！1484年，法国数学家舒开（Chuquet，?—1500）通过把等差数列与等比数列，如：

0，1，2，3，4，… 等差

1，2，4，8，16，… 等比

或

0，1，2，3，4，… 等差

1，3，9，27，81，… 等比 比较发现：等比数列中任何两项的积，可以用与这两项序号对应的等差数列的和来表示（注：这一点最早由阿基米德发现）．由于当时舒开并不力图解决这个问题，因此他仅提出了这个发现，而没加以深入地研究．

半个世纪后，同样的事实再次被德国数学家史提非提出．史提非以如下一组数列为例指出：“等比数列中数的乘、除、乘方、开方可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现．”

如4×8，因为4和8对应的等差数列的数分别是2和3，而2+3=5，所以4×8的结果是5所对应的等比数中的数32．又如82，因为8对应的等差数列中的数是3，3×2=6，所以82的结果是6所对应的等比数列中的数64．

就这样，史提非轻巧地实现了运算的转化，并且他意识到：“只要把这个思想进一步发挥，那么必定能得出关于数的性质的全新的论述．”遗憾的是史提非后来再也没进行深入的研究，他放弃了进一步发挥思想的权利，因而也就失去了对数发明者的资格．

布尔基与耐普尔 数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（John Naeipr，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jobst Bürgi，1552－1632）．

布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．

布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．

为了做到这一点，布尔基采取尽可能细密地列出等比数列的办法．他给出的等比数列相当于：

1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，…，（1.0001）104，… 其相应的等差数列是：

0，0.0001，0.0002，0.0003，…，1，…

这里，等差数列中的1，对应于等比数列中的（1.0001）104．就是说，布尔基在造表时，把对数的底取为（1.0001）104=2.71814593…，与自然对数的底e=2.718281828…相差不远．但需要的指出是，无论是布尔基还是后面要讲到的耐普尔，他们都没有关于对数“底”的观念．因为他们都不是从ax=N的关系出发来定义对数x=logaN的．

耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．

1614年，耐普尔发表了他的《关于奇妙的对数表的说明》一书，书中不仅提出数学史上的第一张对数表（布尔基的对数表发表于1620年），而且阐述了这个发明的思想过程．他说：假定有两个质点P和Q，分别沿着线段AZ和射线A'Z'以同样的初速运动，其中Q保持初速不变，而P作减速运动，其速度与这个点离Z的距离成正比，现在，如果当P位于某点B时，Q位于B'，那么，A'B'就是BZ的对数！同样的A'C'是CZ的对数，等等（图 1）．建立了这个模型以后，耐普尔通过代入具体的数字得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列数值为：

，…

以及作为它们的对数的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，A'F'，…一系列数值为：

1，2，3，4，5，…

显然，这也是一组相互对应的等比数列和等差数列，因此耐普尔实质是把等差数列中的数定义为对应的等比数列中的数的对数！这说明，耐普尔借助于质点运动建立起来的对数概念，其原理仍不外乎等比数列与等差数列关系的合理运用．

对数的由来

英语名词：logarithms

如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。

对数的历史

约翰·纳皮尔/约翰·奈皮尔/约翰·内皮尔（John Napier，1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。

年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。

他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（“Mirifici logarithmorum canonis descriptio”）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561-1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。

纳皮尔对数字计算特别有研究，他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因应天文学的活动而兴起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——圆的部分法则（“纳皮尔圆部法则”）和解球面非直角三角形的两个公式——“纳皮尔比拟式”，以及做乘除法用的“纳皮尔算筹”。此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。