积分变换与数理方程报告_积分变换与数理方程

2020-02-27 其他范文下载本文

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积分变换与数理方程

班级：电信09103班学号：200911020309 姓名：何双来

《积分变换与数理方程》学习总结报告

这个学期我们开了《积分变换与数理方程》这门课。这个课是为大三学习《信号与线性系统分析》做准备而开的。

现在，信号与系统的概念已经深入到人们的生活和社会的各个方面。手机、电视机、通信网、计算机网等已经成为人们常用的工具和设备，这些工具和设备都可以看成系统，而各种设备传送的语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。所以《信号与线性系统分析》这门课非常重要，已经成为电子信息类专业的基础必修课。然而，这门课程并不是那么好学，它里面涉及到很多高等数学的知识。要学习这门课程必须有较好的高等数学知识，并且能够运用这些数学知识解决实际问题。除此之外，还要求学生有较强的阅读理解能力，因为本课程的教材里面有很多抽象的概念、定义和公式。总的来说，是运算量大，内容多阅读量大，理解能力要求高。要在一个学期内学好这门课程并不是一件容易的事情。因此，为了减轻大三的时候学习这门课程的负担，我们开设了《积分变换与数理方程》这门课，主要讲授的是《信号与线性系统分析》中三数学变换和其它一些与数学运算有关的知识，目的是在上《信号与线性系统分析》课之前，让学生提前接触这门课程，以减少大三学习这门课程时难度。

经过这个学期对《积分变换与数理方程》这门课程的学习，我学到了很多东西，下面就对我所学到的东西做一个汇总。

一、首先，是信号的概念。信号是信息的一种表示方式，通过信号传递信息。信号有一维信号，也有n维信号，而本课程只讨论一维信号。信号根据不同的分类方式可以分为连续信号和离散信号，也可分为周期信号与非周期信号，又可分为实信号和复信号，还可分为能量信号和功率信号。此外，信号还可以进行某些基本运算，包括加法和乘法运算、反转和平移和尺度变换。

二、在这门课程中我还学习到了一些和信号分析与处理有关的基本的常见的函数。

（1）阶跃函数以及其图像（2）冲击函数及其图像

0,t0def1(t)limn(t)2,t0 (t)limpn(t)

nn1,t0def(t)t o o (t)t 阶跃函数与冲击函数的关系如下：

(t)d(t)dtt

(x)dx (t)

三、此外，我还学到了一些对函数的运算和函数的三大变换。

1、卷积积分。卷积方法在信号与系统理论中占有重要地位。卷积积分的定义如下：

一般而言，如有两个函数f1(t)和f2(t)，积分

f(t)=

f1()f2(t)d

（2.3 —

7）

称为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积。式（2.3 — 7）常记作

f(t)=f1(t)*f2(t)=f1()f2(t)d

下面是一些常用函数的卷积积分：

（1）函数与冲击函数的卷积：

f(t)(t)(t)f(t)()f(t)df(t)

f(t)(tt1)(tt1)f(t)f(tt1)

f(tt1)(tt2)(tt1)f(tt2)f(tt1t2)

(tt1)(tt2)(tt2)(tt1)(tt1t2)（2）常用卷积积分：

①f(t)'(t)f'(t)②f(t)(t)f(t)

③f(t)(t)

2、傅立叶变换（1）、正交函数集

如有定义在(t1,t2)区间两个函数1(t)和2(t)，若满足

1(t)2(t)dt0

t1t2tf()d ④(t)(t)t(t)

则称1(t)和2(t)在区间(t1,t2)内正交。

若有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，当这些函在区间(t1,t2)内满足

t2t1i(t)j(t)dt0,ijki0,ij 式中ki为常数，则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。

（2）、周期信号的频谱。如前所述，周期信号可以分解成一系列正弦信号或指数信号之和，即

f(t)A02n12An1cos(ntn)jn 或 f(t)Fennjnt

其中FnAnejn|Fn|e。

（3）、非周期信号的频谱。为了描述非周期信号的频谱特性，引入了频谱密度的概念。令

F(j)limFn1TlimFnTTT 称F(j)为频谱密度函数，简称频谱函数。

对于任意一个非周期信号的时间函数f(t)有

defF(j)limFnTTdeff(t)edjtdt（4.4 — 4）

f(t)12F(j)ejt（4.4 — 5）式（4.4 — 4）称为函数f(t)的傅里叶变换，式（4.4 — 5）称为函数F(j)的傅里叶逆变换。F(j)称为f(t)的频谱密度函数或频谱函数，而f(t)称为F(j)的原函数。f(t)和F(j)的关系可以简记为f(t)F(j)。

（4）、奇异函数的傅里叶变换。

①冲激函数的频谱 F t)](t)t (t)ejtdt1

F(j)(1)1 

②冲激函数导数的频谱 F ['(t)]j

F [(n)(t)](j)n ③符号函数的频谱 F [sgn(t)]2j1

④阶跃函数的频谱 F [(t)]()（5）、傅立叶变换的性质。

1()j j①线性，若 f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)

则对任意常数a1和a2，有a1f1(t)a2f2(t)a1F1(j)a2F2(j)②对称性，若 f(t)F(j)，则 F(jt)2f()③尺度变换，若 f(t)F(j)，则对实常数a(a0)，有

f(at)Fj|a|a1

④时移特性，若 f(t)F(j)，且t0为常数，则有

f(tt0)ejt0F(j)

⑤频移特性，若，f(t)F(j)，且0为常数，则有

f(t)ej0tF[j(0)]（6）一般周期函数的傅立叶变换。

 F [fT(t)]F FnejntnFF [ennjnt]2F(n)

nn

3、拉普拉斯变换

（1）、Fb(s)f(t)e1stdt（5.1 — 4）

stFb(s)eds（5.1 — 5）f(t)2jjj 式（5.1 — 4）和式（5.1 — 5）称为双边拉普拉斯变换对或复傅立叶变换对。式中复变函数Fb(s)称为f(t)的双边拉普拉斯变换（或象函数），时间函数f(t)称为Fb(s)的双边拉普拉斯逆变换（或原函数）。（2）、单边拉普拉斯变换

F(s)L [f(t)]defdef0f(t)e0,stdt

t0stf(t)=L 1[F(s)]12jjjF(s)eds,t0

其变换与逆变换的关系也简记作f(t)F(s)。（3）、拉普拉斯变换的性质

①线性，若 f1(t)F1(s),Re[s]1

f2(t)F2(s),Re[s]2

且有常数a1，a2，则 a1f1(t)a2f2(t)a1F1(s)a2F2(s),Re[s]max(1,2)

②尺度变换，若 f(t)F(s)，Re[s]0 则 L [f(at)]0f(x)e(sa)xdxa1sFaa

③时移特性，若 f(t)F(s)，Re[s]0 且有正实常数t0，则

f(tt0)(tt0)estF(s),Re[s]0

0 ④复频移特性，若 f(t)F(s)，Re[s]0 且有复常数saaja，则

f(t)estF(ssa),Re[s]0a

a（4）、几种常用函数的拉普拉斯变换