三角形四心的向量表示_三角形四心的向量形式

三角形四心的向量表示由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“三角形四心的向量形式”。

从动和静两个角度看三角形中四“心”的向量表示

平面几何中中三角形的四“心”,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识；其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。

一．从静止的角度看向量的四“心”

1．已知点O是三角形ABC所在平面上一点，若OAOBOC0，则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析：若OAOBOC0，则OAOBOC，设以OA、OB为邻边的平行四边形为OACB,OC与AB交于点D,则D为AB的中点,由OAOBOC得,OCOC,即C、O、D、C四点共线,故CD为ABC的中线,所以O在边AB的中线上,同理可证, O在边AC的中线上, O在边BC的中线上所以O是三角形ABC的重心. 2.已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA,则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析:由OAOBOBOC得,OB(OAOC)0,即OBCA0,所以OBC,A同理可证:OCAB,OABC,所以O是ABC的垂心.3.已知点O是三角形所在平面上一点，若aOAbOBcOC0,则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析::若aOAbOBcOC0,又因为OBOAAB,OCOAAC,则(abc)OAbABcAC0.所以AObcABACABAC,因为与分别表示AB和AC方向上的单位向量,设abc|AB||AC||AB||AC|ABAC+,则AP平分BAC.又AO、APAP共线，BO平分BAC，知AO平分BAC。同理可证，|AB||AC|CO平分BAC。从而O是ABC的内心。

2224．已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOC，则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

222222分析：因为OAOBOC，所以OAOBOC，即OAOBOC，所以O是ABC的外心。

二．从运动的角度看三角形的四“心”

1．已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOA(ABAC),R，则动点P一定通过ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心 解:OPOA(ABAC),可得AP(ABAC),由于ABAC表示以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线,所以点P在边BC的中线所在直线上，故动点P的轨迹一定通过ABC的重心.2．已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+ OPOA,R，则动点P一定通过ABC的（）|AB||AC|（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABABACACABAC+ 得，AP+ 。由于+ 表分析：由OPOA|AB||AC||AB||AC||AB||AC|示BAC的平分线所在的方向向量。故当R时，动点则动点P一定通过ABC的内心。

3已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+  ,R，则动点P一定通过ABC的（）OPOA|AB|cosB|AC|coCs（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABACABAC+ 得，AP+ 。分析: 由OPOA|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCABACABBCACBC+ B CBCB,C0由于所以cosAB|B|coAsC|C|cos|AB|coBsA|C|C。即点P的轨迹是过点A且垂直于BC的直线，故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心。APB0C4.已知O平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OBOCOP2ABAC+ ,R，则动点P一定通过ABC的（）sA|C|coC|AB|coBs（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABAC+ |AB|cosB|AC|cosCABACABAC+ ,当R时, + 表示垂直于可得DP|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCOBOCOBOC分析:设BC的中点为为D,则OD,所以由OP22BC的向量,所以DP为线段BC的垂直平分线,故动点P的轨迹一定通过ABC的外心.上面通过动和静两个角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒优美的结论,使我们对向量的四心有了新的认识,更好的体会到辩证的和谐的统一.