学年甘肃省兰州一中高二(上)期末数学试卷(理科)_贵阳一中高二数学期末
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2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线y=16x2的准线方程是（）A．x=4 B．x=﹣4 C．y=
﹣
D．y=﹣
2．（5分）若双曲线离心率为（）A．
=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的 B． C． D．
+
=1表示椭圆”的（）3．（5分）“1＜m＜3”是“方程A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．
A．2 B．4 C．4 D．
25．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．
6．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当|的值等于（）A．19 B． C． D．
|取最小值时，x7．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，ex＞1，则（）A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
第1页（共23页）
C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题 8．（5分）设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：
﹣y2=1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A． B． C． D．
9．（5分）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为（）A．7 B．8 C．9
D．10
10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）
A． B． C． D．
11．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，A．2 B．=3 C．，则|k|=（）
D．
12．（5分）过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）给定下列命题：
①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；
第2页（共23页）
B． C． D．
②“若sinα≠，则α≠”；
③若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题； ④命题“∃x0∈R，使x02﹣x0+1≤0”的否定． 其中真命题的序号是
．
14．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，三向量共面，则λ=
． 15．（5分）已知A是双曲线C：
（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围
．
16．（5分）如图，已知点C的坐标是（2，2）过点C的直线CA与X轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a的范围．（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．
18．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，第3页（共23页）
（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；
（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．
19．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．
20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆C上两点，N（3，1）是线段AB的中点．（1）求直线AB的方程；（2）若以AB为直径的圆与直线
相切，求出该椭圆方程．
21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有由．
22．（12
＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理分）已知椭圆
第4页（共23页），四点
中恰有三点在椭圆上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
第5页（共23页）
2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线y=16x2的准线方程是（）A．x=4 B．x=﹣4 C．y=
D．y=﹣
【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析其开口方向以及p的值，由抛物线的准线方程即可得答案．
【解答】解：抛物线的方程为y=16x2，其标准方程为x2=其开口向上，且p=，；
y，则其准线方程为：y=﹣故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意将抛物线的方程变形为标准方程．
2．（5分）若双曲线离心率为（）A． B． C． D．
﹣
=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线即9（c2﹣a2）=16a2，解得=． 故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．
第6页（共23页）
﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，3．（5分）“1＜m＜3”是“方程
+
=1表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若方程
+
=1表示椭圆，则满足，即，即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程是椭圆，不满足条件．即充分性不成立 故“1＜m＜3”是“方程故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键．
4．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．
+
=1表示椭圆”的必要不充分条件，+
=1等价为
为圆，不
A．2 B．4 C．4 D．
2【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣4代入抛物线方程求得x0进而得到答案．得到答案． 【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，第7页（共23页）
将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0=2 故水面宽为4故选：B m．，【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．
5．（5分）椭圆
（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．
【分析】由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2=
=，从而得到答案．
【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴∴e==，即e2=，即此椭圆的离心率为
．
故选B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用a，c分别表示出|AF1|，|F1F2|，|F1B|是关键，属于基础题．
第8页（共23页）
6．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当|的值等于（）A．19 B． C． D．
|取最小值时，x【分析】利用向量的坐标公式求出的坐标；利用向量模的坐标公式求出向量的模；通过配方判断出二次函数的最值． 【解答】解：|=|= =（1﹣x，2x﹣3，﹣3x+3），求出被开方数的对称轴为x= 当时，||取最小值．
故选C
【点评】本题考查向量的坐标公式、考查向量模的坐标公式、考查二次函数的最值与其对称轴有关．
7．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，ex＞1，则（）A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题
【分析】利用函数的性质先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题； 对于命题q：∀x∈R，ex＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题； ∴命题p∧￢q是真命题． 故选：C．
【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，属于基础题．
8．（5分）设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：
第9页（共23页）
﹣y2=1与C
1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A． B． C． D．
【分析】先计算两曲线的焦点坐标，发现它们共焦点，再利用椭圆与双曲线定义，计算焦半径|PF1|，|PF2|，最后在焦点三角形PF1F2中，利用余弦定理计算即可． 【解答】解：依题意，曲线C1：双曲线C2：
+
=1的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）
﹣y2=1的焦点也为F1（﹣2，0），F2（2，0）
∵P是曲线C2与C1的一个交点，设其为第一象限的点 由椭圆与双曲线定义可知 PF1+PF2=2解得PF1=，PF1﹣PF2=2+，PF2=
﹣
设∠F1PF2=θ 则cosθ=故选：C
【点评】本题综合考查了椭圆与双曲线的定义，解题时要透过现象看本质，用联系的观点解题．
9．（5分）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，=，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为（）A．7 B．8 C．9
D．10
【分析】利用三角形的周长以及椭圆的定义，求出周长的最小值． 【解答】解：椭圆的方程为∴2a=6，2b=4，c=
2，连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得
△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b=4，第10页（共23页）
l=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10． 故选：D．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义及焦点三角形的性质，考查数形结合思想，属于基础题．
10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）
A． B． C． D．
【分析】过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，进而可知EF⊥平面ABC1D1，进而根据EF=B1C求得EF．
【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离． 作EF⊥BC1于F，易证EF⊥平面ABC1D1，可求得EF=B1C=故选B．
第11页（共23页）
．
【点评】本题主要考查了点到面的距离计算．解题的关键是找到点到面的垂线，即点到面的距离．
11．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，A．2 B．=3 C．，则|k|=（）
D．
【分析】设A在第一象限，A、B在准线上的射影分别为M，N，过B作BE⊥AM与E，根据抛物线定义，可得：AF=AM=3m，BN=BF=m，BAF=60°，k=在第四象限时，可得k=﹣
．，当A【解答】解：设A在第一象限，如图，设A、B在准线上的射影分别为M，N，过B作BE⊥AM与E，根据抛物线定义，可得： AF=AM=3m，BN=BF=m，∴AE=2m，又AB=4m，∴∠BAF=60°，k=，． 当A在第四象限时，可得k=﹣故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质、定义，属于中档题．
12．（5分）过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）
第12页（共23页）
A． B． C． D．
【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案． 【解答】解：由题意过双曲线的左焦点F作直线l与双
＜曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，可得|AB|=4b，并且2a＞4b，e＞1，可得：e＞或
1综合可得，有2条直线符合条件时，：e＞故选：D．
或1．
【点评】本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解；要避免由弦长公式进行计算．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）给定下列命题：
①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件； ②“若sinα≠，则α≠
”；
③若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题； ④命题“∃x0∈R，使x02﹣x0+1≤0”的否定． 其中真命题的序号是 ②④ ．
【分析】①直接由充分条件、必要条件的概念加以判断； ②找给出的命题的逆否命题，由其逆否命题的真假加以判断； ③由原命题的真假直接判断其逆否命题的真假；
④首先判断给出的特称命题的真假，然后判断其否定的真假． 【解答】解：对于①，由x＞1不能得到x＞2，由x＞2能得到x＞1，第13页（共23页）
∴“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，命题①为假命题； 对于②，∵“若，则sin
”为真命题，”为真命题，命题②为真命题； ∴其逆否命题“若sinα≠，则α≠对于③，由xy=0，可得x=0或y=0，∴“若xy=0，则x=0且y=0”为假命题，则其逆否命题为假命题； 对于④，∵x02﹣x0+1=，∴命题“∃x0∈R，使x02﹣x0+1≤0”为假命题，则其否定为真命题． ∴真命题的序号是②④． 故答案为：②④．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，着重考查原命题与其逆否命题之间的真假关系，考查了命题与命题的否定，是中档题．
14．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，三向量共面，则λ=
．
【分析】，三向量共面三向量共面，存在p，q，使得=p+q，由此能求出结果．
【解答】解：∵=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），，三向量共面三向量共面，∴存在p，q，使得=p+q，∴（7，5，λ）=（2p﹣q，﹣p+4q，3p﹣2q）
∴，第14页（共23页）
解得p=，q=．，λ=3p﹣2q=．
故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共面定理的合理运用．
15．（5分）已知A是双曲线C：
（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围（1，2）．
【分析】利用双曲线的对称性及锐角三角形∠PAF＜45°得到AF＞PF，求出A的坐标；求出AF，PF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围． 【解答】解：∵△APQ是锐角三角形，∴∠PAF为锐角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠PAF=∠QAF＜45° ∴PF＜AF
∵F为座焦点，设其坐标为（﹣c，0）所以A（a，0）所以PF=∴，AF=a+c
＜a+c即c2﹣ac﹣2a2＜0
解得﹣1＜＜2
双曲线的离心率的范围是（1，2）故答案为：（1，2）
【点评】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．
16．（5分）如图，已知点C的坐标是（2，2）过点C的直线CA与X轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，第15页（共23页）
则点M的轨迹方程为 x+y﹣2=0 ．
【分析】由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB的中点，可得|OM|=|CM|，利用两点间的距离公式即可得出． 【解答】解：由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB的中点． ∴|OM|=|CM|，设M（x，y），则化为x+y﹣2=0． 故答案为x+y﹣2=0．
【点评】本题考查了直角三角形的斜边的中线的性质和两点间的距离公式，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a的范围．（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．
【分析】根据二次函数的图象和性质可以求出命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅为真命题时，a的取值范围A，根据对数函数的单调性与底数的关系，可以求出命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数为真命题时，a的取值范围B．
（1）若甲、乙至少有一个是真命题，则A∪B即为所求
第16页（共23页），（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题，则（A∩CUB）∪（CUA∩B）即为所求． 【解答】解：若命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅为真命题
则△=（a﹣1）2x﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1＜0 即3a2+2a﹣1＞0，解得A={a|a＜﹣1，或a＞}
若命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数为真命题 则2a2﹣a＞1 即2a2﹣a﹣1＞0
解得B={a|a＜﹣，或a＞1}（1）若甲、乙至少有一个是真命题 则A∪B={a|a＜﹣或a＞}；
（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题
（A∩CUB）∪（CUA∩B）={a|＜a≤1或﹣1≤a＜﹣}．
【点评】本题以复合命题的真假判断为载体考查了函数的性质，其中分析出命题甲乙为真时，a的取值范围，是解答的关键．
18．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；
（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．
【分析】（1）以A为原点建系，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（C（0，2，0），即可求解．（2）求出面SBC的法向量，1，0），．设AB与面SBC所成的角为θ，则
第17页（共23页）
sinθ=．，【解答】解：（1）以A为原点建系如图，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（1，0），C（0，2，0）． ∴=（，1，0），=（，1，﹣3），．
=（0，2，﹣3）…（6分）
（2）设面SBC的法向量为则令y=3，则z=2，x=，∴．
…12分 设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ=
【点评】本题考查了空间向量的应用，属于中档题．
19．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．
【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行
第18页（共23页）的判定定理证明BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB=2CD=，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，DE=，A1E=3，A1D=故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，=，EF=
=，． 在△A1DC中，DF=所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．
20．（12分）已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆C上两点，N（3，1）是线段AB的中点．
第19页（共23页）
（1）求直线AB的方程；（2）若以AB为直径的圆与直线
相切，求出该椭圆方程．
【分析】（1）根据椭圆的性质，利用离心率公式，得到椭圆T：x2+3y2=a2（a＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣3）+1，联立消元，得到含有参数k的关于x的一元二次方程，利用判别式，韦达定理中点坐标公式，求得直线方程．
（2）由圆心N（3，1）到直线的距离d=
|x1﹣x2|=，可得|AB|=
2．当=2，k=﹣1时方程①即4x2﹣24x+48﹣a2=0．|AB|=解得a2=24．
【解答】解：（1）离心率e=，设椭圆C：x2+3y2=a2（a＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，设直线AB的方程为y=k（x﹣3）+1，代入x2+3y2=a2，整理得（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+3（3k﹣1）2﹣a2=0．① △=4[a2（3k2+1）﹣3（3k﹣1）2]＞0，②且x1+x2=由N（3，1）是线段AB的中点，得
．，解得k=﹣1，代入②得a2＞12，∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0..（6分）
（2）圆心N（3，1）到直线的距离d=，∴|AB|=2
．
当k=﹣1时方程①即4x2﹣24x+48﹣a2=0．
∴|AB|=|x1﹣x2|=
…（12分）
=2，解得a2=24．
∴椭圆方程为【点评】题主要考查了椭圆的性质以及和椭圆和直线的位置关系，关键设点的坐标，利用方程的思想，属于中档题．
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21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有由．
【分析】（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．
（Ⅱ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现•＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围．
＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：
化简得y2=4x（x＞0）．
（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
设l的方程为x=ty+m，由
得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，于是又①
．
⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0② 又，于是不等式②等价于
③
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由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得
．
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围
．
【点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．
22．（12分）已知椭圆，四点
中恰有三点在椭圆上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2，P3，P4三点在椭圆C上．把P2，P3代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），与椭圆方程联立，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．
【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，得到P2，P3，P4三点在椭圆C上．把P2，P3代入椭圆C，得，得出a2=4，b2=1，由此椭圆C的方程为
．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
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=﹣1
②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，…①
∵直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，∴
=
=
…②
①代入②得：
又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
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