秋离散数学作业题_离散数学作业题

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离散数学作业题

第一章 命题逻辑

p38 习题一1、2（1）（3）、3（1）（4）、4（2）（3）、6（2）、7（4）（6）、8（1）（3）（5）补充题：将PQ化成与之等价的并仅含联结词的公式。

第二章 谓词逻辑

P70 习题二

2（2）（4）、3（1）（3）、4（3）（4）、10（4）补充题：

1.谓词符号化：

1)所有的鱼都生活在水中。2)没有大于2的偶素数。3)并不是每个人都聪明。

2.设个体域D={a,b}，将一阶公式(x)(F(x)→(y)G(y))中的量词消除

3.设个体域为整数集，令P(x,y)：x+y=1；Q(x,y)：xy>0，试求解下列命题的真假。

1)(x)(y)P(x,y).2)(x)(y)Q(x,y).4.求前束范式：

1)(x)F(x)(x)R(x).2)((x)P(x)∨(y)Q(y))(x)R(x).5.证明：

前提：(x)(A(x)B(x)∧C(x))，(x)(A(x)∧D(x))结论：(x)(C(x)∧D(x))

6.所有的整数均为有理数并且为实数，存在是整数又是奇数的数，因而存在是奇数又是实数的数。

写出上面推理的证明。(用谓词逻辑，写出用谓词表示的前提、结论和证明过程)

第三章 集合、关系与映射 P133 习题三：7、9、11、17 补充题

1.AB，A∈B能否同时成立，说明原因

求集合A＝{a，{a}}的幂集

2.证明：若BC，则P(B) P(C)3.如果A∪B=A∪C，是否有B=C？

如果A⊕B=A⊕C，是否有B=C？

4.试求1到10000之间不能被4，5或6整除的整数个数.5.列出所有从A={a,b,c}到B={s}的关系，并指出集合A上的恒等关系和从A到B的全域关系.5.给出A上的关系及其关系图和矩阵表示.{|0≤x-y＜3} A={0，1，2，3，4}

6.已知S={a,b}.R ={〈x,y〉|x,y∈A∧xy∧A为集合族ρ(S)}.试写出关系R.7.已知： A={a,b,c}, R={〈a,b〉,〈a,c〉,〈b,c〉}该关系具有什么性质？

(自反，反自反，对称，反对称，传递性)8.设A={a,b,c},R={〈a,b〉,〈a,c〉} 计算：r(R)，sr(R)，tr(R)，str(R).9.设A是含有4个元素的集合，试求：

(1)在A上可以定义多少种对称关系？

(2)在A上可以定义多少种既是自反的，又是对称的关系？

(3)在A上可以定义多少种既不是自反的，也不是反自反的二元关系？

10.设集合A={0，1，2，3，4}.R={|x+y=4,x,y∈A}，S={|y-x=1,x,y∈A}.试求：R◦S，R◦R，(R◦S)◦R，R◦(S◦R).11.证明：R是A上的传递关系R◦RR.12.A={1,2,3,4,5},R={|x,y∈A∧x-y可被2整除}，试问R是否是A上的等价关系？如果是，求出R的各等价类.13.A={1,2,3,4,5},A上的划分∏={{1,2},{3,4},{5}}，给出由∏所诱导出的A上的等价关系R的集合表达式.14.试给出一个单射但非满射的函数.(对某一集合而言)15.设f：N→N×N，f(n)=,则：

(1)说明f是否为单射和满射，并说明理由.(2)f的反函数是否存在？并说明理由.(3)求ranf.16.已知如果从无限集合A到集合B存在单射f，则B也是无限集合。

设X是无限集合，集合Y≠φ，证明：X与Y的笛卡儿积X×Y是无限集合。

第六章 代数结构

P247 习题六：4（1）（3）、6、16、21 补充题：

1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：

2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？

3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1)列出B的元素.2)给出代数系统V=的运算表.3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.4)说明V是否为半群、独异点和群？

4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1)给出关于*运算的一个运算表.其中表中？位置可以是a、b、c。2)*运算是否满足结合律，为什么？ 5.设是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法).证明：: 是独异点.6.如果是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.7.设是一个群,则a,b,c∈S。

试证明： 群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.8.设是群，a∈G.现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，x,y∈G.证明：也是群.9.试写出模6加法群的每个子群及其相应的左陪集.的运算表如下所示：

10.设A={1,2,5,10,11,22,55,110}.1)A关于整除关系是否构成偏序集？

2)如果构成偏序集合，画出其对应的哈斯图.3)如果构成偏序集，该偏序集合构成哪种格？(分配格、有界格、有补格、布尔格).第七题

图论

P295 习题七：2、9、10 补充题：

1.是否存在7阶无向简单图G，其度序列为1、3、3、4、6、6、7.给出相应证明.2.求下图的补图

3.1）试画一个具有5个顶点的自补图

2）是否存在具有6个顶点的自补图，试说明理由。

4.设图G为n(n>2且为奇数)阶无向简单图，证明：G与G的补图中奇度顶点个数相等.5.无向图G中只有2个奇度顶点u和v，u与v是否一定连通.给出说明或证明。6.图G如下图所示：

1)写出上图的一个生成子图.（不唯一）2)δ(G)，κ(G)，λ(G).3)说明：δ(G)=min{ d(v)| vV } ；κ(G)=min{ |V’| |V’是图G的点割集} ； λ(G)=min{ |E’| |E’是图G的边割集} 7.在什么条件下无向完全图Kn为欧拉图？

8.证明：有割边的图不是欧拉图.9.证明：有割边的图不是哈密尔顿图.10.树T有2个4度顶点，3个3度顶点，其余顶点全为树叶，问T有几片树叶？ 11.给出全部互不同构的4阶简单无向图的平面图形。

12.如果G是平面图, 有n个顶点、m条边、f个面，G有k个连通分支。试利用欧拉公式证明:：n-m+f=k+1.