华东师范大学数学分析考研试题_华师大数学分析真题

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华东师范大学

2008年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目代码及名称：数学分析

一、判别题（6*6=30分）（正确的说明理由，错误的举出反例）

1．数列ann1收敛的充要条件是对任意0，存在正整数N使得当nN时，恒有 

a2nan.2．若f(x,y)在(x0,y0)处可微，则在(x0,y0)的某个邻域内

bfxy,f存在。

3．设f(x)在a,b上连续且fxdx0，则f(x)在a,b上有零点。

a4．设级数an收敛，则n1n1ann收敛。

5．设f(x,y)在(x0,y0)的某个邻域内有定义且

xx0yy0limlimfx,ylimlimfx,yfx0,y0，yy0xx0

则f(x,y)在(x0,y0)处连续。

6.对任意给定的x0R，任意给定的严格增加正整数列nk,k1,2,，存在定义在R上的函数

f(x)使得f

二、计算题（10*3=30分）（计算应包括必要的计算步骤）

1．求 lim1(nk)(k)(x0)0,k1,2,，（f(x0)表示f(x)在点x0处的k阶导数）。

1(x1)sinx4e1x1x0.xeucosv2zzzu，.2．设 zzx,y 为由方程组yesinv所确定的隐函数。求

xyxyzuvx1y2z3222dydzdzdxdxdy, 其中rx1y2z3，3．计算333SirrrS1:x1y2z31，S2:222x121y2221nz3231，积分沿曲面的外侧。

三、证明题（14*6=84分）

1．设级数an收敛于A（有限数）。证明：limn1n(an2an1(n1)a2na1)A.2．设f(x)在a,b上的不连续点都是第一类间断点。证明：f(x)在a,b上有界。

求证：存在0使得在a,b上有f(x).3．已知在a,b上，函数列fn(x)一致收敛于f(x)，函数列gn(x)一致收敛于g(x).证明：函数列maxfn(x),gn(x)一致收敛于maxf(x),g(x).4．设数列ann1为a,b中互不相同的点列，an为函数fn(x)在a,b上的唯一间断点。设fn(x):n即存在正数M使得fn(x)M对所有的n与所有1,2,在a,b上一致有界，xa,b均成立。证明：函数hxn1fnx2n在a,b内的间断点集为an:n1,2,.5．设fxn1nen（1）f(x)在0,2上连续；（2）f(x)在cosnx,x0,2，证明：

e0x2

0,2上存在且连续；（3）maxfxe12.6．（1）设F(x)在,上可导。若存在xn,yn使

limFxnlimFync,，证明存在,使得F()0.nn,yn使

（2）设f(x)，g(x)在,上可导，设存在xn,yn，xnnlimfxnB,,limfynA,

nnb,,limgyna,.limgxnn设g(x)0,x,，证明：存在,使

fgBAba.