华东师大数学分析考研真题_华东师大数学分析考研

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华东师范大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目：数学分析

一（30）判别题（正确证明，错误举反例或说理由）

1.设数列{an}满足条件：0,N,使nN,|anaN|,，则{an}收敛。

2.设f(x)在(a,b)上可导。若

f'(x)在(a,b)上有界，则f(x)在(a,b)上有界.an3.设正数列{an}满足条件limnb0则(1)nan收敛。

n14.设f(x)在[a,b]上可积，且f(x)dx0，则存在[c,d][a,b]，a使得:x[c,d],5.设f(x,y)在(x0,f(x)0.y0)的某邻域内连续，且在(x0,y0)处有偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0),则

f(x,y)在(x0,y0)处可微.二.计算题（30分）6.求limnnanbn,其中0ab.7.求f(x)

8.求

x01costdt的麦克劳林级数展开式。t10x2ln2xdx.)9.设zf(u),方程u(uyxP(t定)d义t了隐函数

''uu(x,y)，其中f(u),(u)可微，P(t),(u)连续，且(u)1 1 求P(y)

10.求zzP(x).xy(y2z2)ds,其中{(x,y,z):x2y2z21}

三.证明题（90分）11.设0,f(x)在(,)上具有连续的二阶导函数

f'(0),x0f''(x),f(0)0.若g(x),求证：g(x)在(,)上有f(x),x0x连续的导函数.12.设fn(x)是[0,1]上连续函数，且在[0,1]上一致收敛于f(x),求证：limn11n0fn(x)dx10f(x)dx.limf(n)0.求证：13.设f(x)在[0,)上一致连续，且0，nxlimf(x)0.14.设f(x)在[0,)上连续有界，求证：

nlimnn0|f(x)|ndxsup|f(x)|:x[0,]

15.设f(x,y,z)是定义在开区域D上的有连续的偏导数的三元函数，且(x,y,z)D，fx2(x,y,z)fy2(x,y,z)fz2(x,y,z)0,S是由f(x,y,z)0定义的封闭的光滑曲面。若P,QS,且P与Q之间的距离是S中任意两点之间距离的最大值,求证：过P的S的切平面与过Q的S的切平面互相平行，且垂直于过P与Q的连线.6