北京大学1997年研究生入学考试离散数学试题_北大离散数学试题
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北京大学1997年研究生入学考试 离散数学试题（共50分）(7分)
在一阶逻辑自然推理系统F中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
“每位科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人或事业半途而废的人。”(8分)
在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断：
甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后，笑曰：你们3人中有一人全说对了，有一人全说错了，还有一人对错各半。
试用逻辑演算法判断王教授是哪里人？(3分)
设根树T有17条边，12片树叶，4个4度内点，1个3度内点。求T的树根的度数。(7分)
设无向图G是n(n≥3)个顶点的极大平面图，证明G的对偶图G*的边连通度l(G)≥2，并且G*是3-正则图(Δ(G)=d(G)=k的无向图G称作k-正则图)。(4分)
设R={| x,yÎnÙx+3y=12}，求R2。(6分)
设A为集合，B=P(A)-{Æ}-{A}，且B≠Æ。
求偏序集的极大元，极小元，最大元和最小元。(4分)
设A={1,2,3}，fÎAA，且f(1)=f(2)=1，f(3)=2，定义G：A→P(A)，G(x)=f-1(x)。说明G有什么性质(单射、满射和双射)，计算值域ranG。(4分)
设I是格L的非空子集，如果
(1)“a,bÎI，有aÚbÎI，(2)”aÎI，“xÎL，有x≤aÞxÎI。
则称I是格L的理想。
证明：格L的理想是一个子格。(7分)
设G为n阶群，aÎG。令
H={xax-1|xÎG}，N(a)={x|xÎGÙax=xa}。
证明：
① |H|=[G:N(a)]；
② 设C={x|xÎGÙ”yÎG(xy=yx)}是群G的中心，且|C|=m，则|H|∣n/m。
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