考研数学二真题_考研数学二真题卷
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2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试卷
一、填空题(本题共6小题，请将答案写在题中横线上．)(1)三阶常系数线性齐次微分方程(2)曲线的渐近线方程为______．的通解为y=______．
(3)函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数______．(4)当0≤θ≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为______．
(5)已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加的速率为______．
(6)设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=______．
二、选择题(本题共8小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．)(7)函数的无穷间断点数为(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．(8)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程数λ，μ使
该方程的解的两个特解．若常
是对应的齐次方程的解，则
(9)曲线y=x2与曲线y=aln x(a≠O)相切，则a=(A)4e．(B)3e．(C)2e．(D)e．
(10)设m，n是正整数，则反常积分(A)仅与m值有关．(B)仅与n值有关．
(C)与m，n值都有关．(D)与m，n值都无关．(11)设函数z=z(x，y)由方程
(A)x(B)z．(C)-x．(D)-z．的收敛性
确定，其中F为可微函数，且(12)
(C)(D)(14)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0，若A的秩为3，则A与相似于
三、解答题(本题共9小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)求函数(16)(Ⅰ)比较小，说明理由；(Ⅱ)记，求极限的单调区间与极值．的大
(17)设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且φ(1)=
(18)一个高为j的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为
时(如图2)，计算油的质量．
(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg/m3)(19)设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定a，b的值，使等式在变换
(20)计算二重积分
(21)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且。证明：存在f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2
(22)设 已知线性方程组Ax=b存在2个小同的解．(Ⅰ)求λ，a；
(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解.(23)设例为
一、填空题(1)(4)
二、选择题
正交矩阵使得为对角矩阵，若Q的第1参考解答
(2)y=2x(3)-2n·(n-1)!(5)3cm/s(6)3(7)B(8)A(9)C(10)D(11)B(12)D(13)A(14)D
三、解答题
(15)分析：求变限积分f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间． 解令因为当x＞1时
当-1＜x＜0时
时
所以f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞)；极小值为f(1)=f(-1)=0，极大值为
评注：也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型．(16)分析：对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限。
解：(Ⅰ)当0≤t≤1时，0≤ln(1+t)≤t，故|lnt|[ln(1+t)]≤|ln|．由积分性质得(Ⅱ)
n
于是有
评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．
由夹逼定理得(17)分析：先求求出ψ(t)
可得关于ψ(t)的微分方程，进而解：由参数方程确定函数的求导公式可得
评注：此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题，有一定难度．
(18)分析：先求油的体积，实际只需求椭圆的部分面积．
解：建立如图3所示的直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为
油的质量M=ρV。其中油的体积V=S底·l．
故
评注：此题若不能记住公式算量稍显大．
(19)分析：利用复合函数的链导法则变形原等式即可． 解：由复合函数的链导法则得
则运
所以
因而
解得
评注：此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，是对运算能力的考核.(20)分析：化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式，然后计算二重积分．
解：如图4，直角坐标系下，D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，所以
(21)分析：这是一个双介值的证明题，构造辅助函数，用两次拉格朗日中值定理。证明：
两式相加得f'(ξ)+f'(η)=ξ+η
评注：一般来说，对双介值问题，若两个介值有关联同时用两次中值定理，若两个介值无关联时用一次中值定理后，再用一次中值定理．
(22)分析：本题考查方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解．
解：(Ⅰ)解法一由线性方程组Ax=b存在2个不同解，得λ=-1，a=-2． 解法二 由线性方程组Ax=b有2个不同的解，组的系数行列式
因此方程
得λ=1或-1；而当λ=1时，所以λ=-1．由
(Ⅱ)当λ=-1，a=-2时，此时，Ax=b无解，故方程组Ax=b的通解为：为任意常数．
(23)分析：本题考查实对称矩阵的正交对角化问题．由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值，然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出Q． 解：记
得a=-1，λ=2，因此由得A的特征值为 λ1=2，λ2=-4，λ3=5，且对应于λ1=2的特征向量为
当λ2=-4时，(-4E-A)
由(-4E-A)x=0得对应于λ2=-4的特征向量为 α2=(-1，0，1)T．
当λ3=5时，(5E-A)
由(5E-A)x=0得对应于λT3=5的特征向量为α3=(1，-1，1)．
因A为实对称矩阵，α1，α2，α3为对应于不同特征值的特征向量，所以η1，η2，η3为单位正交向量组．令
