浅议向量组线性无关的证法_怎么证向量组线性无关

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浅议向量组线性无关的证法

【摘要】根据辅导自学考试的教学经历，考查近几年经管类《线性代数》试题中有关向量组线性无关的证明（第27题），归纳分析该类考题的特点，并给出了一般的证明方法。本文通过展示对历年考题的证明过程，阐述了向量组线性无关概念的多种灵活变形，提取这类题目的本质并提出大致解题想法，从而为提高学生例题解析能力和培养逻辑归纳思维提供思路。

【关键词】向量组 线性无关 齐次线性方程组

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）04-0251-01

向量组的线性无关性是线性空间结构理论的基础，在线性代数中有着重要作用，在矩阵、向量组的秩求解、正交向量组、齐次线性方程组的基础解系、二次型、线性空间变换中均有应用。向量组的线性无关性判别证明以其严谨的逻辑推证，巧妙的归纳综合等特点，增强了数学爱好者的科学智能，但也往往使得初学者难以抓住要领。针对学生的这一问题，为打消其顾虑调动学习积极性，笔者根据多年《线性代数》自学考试的教学经验，结合教材考试大纲分析命题思路，梳理归纳了历年考题并给出证明。

全国高等教育自学考试线性代数试题（经管类）共27题，满分是100分，第27题作为6分的压轴题难度较大，学生对此往往有畏难心理。该题大多考查向量组线性无关的证明，在历次考试中出现的几率很高。例如：

一、（2009年1月第27题）

本题证法与前面不同的是，根据已知条件，可以写出对应的三元齐次线性方程组，得到系数行列式，且不等于零，依据克莱姆法则判断，齐次线性方程组只有零解，故向量组线性无关。

从以上五个题的证明可以看出，命题紧紧联系向量组线性无关的定义，重在考查学生的数学应用、思维发散能力及推理运算技巧。

向量组的线性无关理论是在向量空间一章中讲述的，是重要的部分，在求矩阵的秩、向量组的秩、正交向量组等均有广泛的应用，尤其在线性方程组解的理论中，求基础解系、通解，不可或缺。因此，证明向量组线性无关，在考试中作为重点考查内容之一，恰如其分。学生应加强学习训练，提高逻辑归纳能力，才能融会贯通顺利通过考试。

参考文献：

[1]牛少彰，刘吉佑.线性代数学习指导与例题分析[M].北京邮电大学出版社，2003.[2]刘吉佑，徐诚浩.线性代数： 经管类[M].武汉大学出版社，2006.[3]刘吉佑，徐诚浩.线性代数（经管类）习题详解[M].清华大学出版社，2007.[4]任功全，封建湖，薛宏智.线性代数[M].北京：科学出版社，2005.[5]付立江.线性无关向量组的构造[J].黑龙江科技信息，2010（031）： 25-25.[6]王建平，曹殿立，孙成金，等.线性空间中线性无关向量组扩充为基的研究[J].河南教育学院学报： 自然科学版，2003，12（4）： 8-9.作者简介：

臧新建，男，1965年12月生，理学学士。研究方向：基础数学。