空间向量乘积_空间向量数乘
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课时提升作业(二十一)
空间向量的数乘运算
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。是()A.有相同起点的向量
B.等长向量 C.共面向量
D.不共面向量
【解析】选C.由题意知,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。,所以向量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。是共面向量.2.(2014·沈阳高二检测)下列命题中正确的是()A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行 B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面 C.空间任意两个向量共面
D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb
【解析】选C.对A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空间任意两个向量共面,正确;D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb,错误,当b=0时不成立.【变式训练】错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。共线是直线AB∥CD的()A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。共线,则错误！未找到引用源。∥错误！未找到引用源。,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线;而若AB∥CD,则必有错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。共线.3.(2014·西安高二检测)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是()A.错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。D.以上都不对
【解析】选B.因为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。, 所以3错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。, 所以错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)+(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。), 所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。, 所以错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。,所以P,A,B,C共面.【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。+3错误！未找到引用源。,则()A.四点O,A,B,C必共面 B.四点P,A,B,C必共面 C.四点O,P,B,C必共面 D.五点O,P,A,B,C必共面
【解析】选B.由6错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。+3错误！未找到引用源。, 得(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)=2(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)+3(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。), 即错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。+3错误！未找到引用源。.由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面.4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ,μ≠0),则
()A.a∥e
1B.a∥e2
C.a与e1,e2共面
D.以上三种情况均有可能 【解析】选C.若a∥e1,则存在实数t使得a=te1, 所以te1=λe1+μe2,所以(t-λ)e1=μe2, 则e1与e2共线,不符合题意.同理,a与e2也不平行.由向量共面的充要条件知C正确.5.(2014·南宁高二检测)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=0,则错误！未找到引用源。等于()A.2错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。
B.-错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。
D.-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
【解析】选A.由已知得2(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)+(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)=0, 所以错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。.6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若错误！未找到引用源。=a,错误！未找到引用源。=b,错误！未找到引用源。=c,则下列向量中与错误！未找到引用源。相等的向量是()
A.-错误！未找到引用源。a+错误！未找到B.错误！未找到引用源。a+错误！未找到引C.错误！未找到引用源。a-错误！未找到引D.-错误！未找到引用源。a-错误！未找到
引用源。b+c 用源。b+c 用源。b+c 引用源。b+c
【解析】选A.错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。a+错误！未找到引用源。b+c.二、填空题(每小题4分,共12分)
7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线
(填是或否).【解析】设a=λb, 即3e1+4e2=λ(-3e1+8e2)=-3λe1+8λe2, 所以错误！未找到引用源。⇒错误！未找到引用源。所以不存在λ,使a=λb,即a与b不共线.答案:否
8.(2014·福州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。表示向量错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。=
.【解析】错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。.答案:错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,错误！未找到引用源。=a,错误！未找到引用源。=b,错误！未找到引用源。=c,若错误！未找到引用源。=xa+yb+zc,则x+y+z=
.【解析】在△OBD中,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。-(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=a-b+c, 故x+y+z=1.答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。.设错误！未找到引用源。=a,错误！未找到引用源。=b,错误！未找到引用源。=c,试用a,b,c表示错误！未找到引用源。.【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将错误！未找到引用源。表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示错误！未找到引用源。.【解析】如图所示,连接AN,则错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)-错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。)=c+错误！未找到引用源。(b-c)-错误！未找到引用源。(a+b)=-错误！未找到引用源。a+错误！未找到引用源。b+错误！未找到引用源。c.【拓展延伸】数形结合法表示向量
用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将错误！未找到引用源。表示为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。.11.(2014·武汉高二检测)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。.(1)判断错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。三个向量是否共面.(2)判断点M是否在平面ABC内.【解析】(1)由已知,得错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=3错误！未找到引用源。, 所以错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)+(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。), 所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。.所以向量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。共面.(2)由(1)知向量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。共面,三个向量的基线又过同一点M,所以四点M,A,B,C共面, 所以点M在平面ABC内.【变式训练】直线AB,CD为两异面直线,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。共面.【证明】如图, 在封闭图形ABNM中, 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。找到引用源。+错误！未找到引用源。, ① 在封闭图形CDNM中, 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。, ②
+错误！未又因为M,N分别为线段AC,BD的中点, 所以错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=0,错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=0, ①+②得2错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。, 即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。, 所以向量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。共面.(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量错误！未找到引用源。的为()
A.错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。-3错误！未找到引用源。-2错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。+3错误！未找到引用源。-2错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。-3错误！未找到引用源。
【解析】选C.根据A,B,C,P四点共面的充要条件可知错误！未找到引用源。=x错误！未找到引用源。+y错误！未找到引用源。.由图知x=3,y=-2,所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+3错误！未找到引用源。-2错误！未找到引用源。.2.(2014·济南高二检测)下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若a,b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若错误！未找到引用源。=x错误！未找到引用源。+y错误！未找到引用源。+z错误！未找到引用源。(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是
()A.1
B.2
C.3
D.4 【解析】选C.①若A,B,C,D是空间任意四点,则有错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=0正确;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误;③若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若错误！未找到引用源。=x错误！未找到引用源。+y错误！未找到引用源。+z错误！未找到引用源。(x,y,z∈R)且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面.【变式训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A.错误！未找到引用源。=3错误！未找到引用源。-2错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=0
C.错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=0 D.错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
【解析】选C.因为错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=0, 所以错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。, 所以M与A,B,C必共面.3.(2013·温州高二检测)空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。等于()A.错误！未找到引用源。
B.3错误！未找到引用源。
C.3错误！未找到引用源。
D.2错误！未找到引用源。
【解析】选B.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。=3错误！未找到引用源。.4.(2014·石家庄高二检测)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有错误！未找到引用源。=x错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。,则x的值为()A.1
B.0
C.3
D.错误！未找到引用源。【解析】选D.因为错误！未找到引用源。=x错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。,且M,A,B,C四点共面,所以x+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1,x=错误！未找到引用源。.二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=mi+nj是i,j,k共面的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面⇔存在惟一的一对实数x,y使k=xi+yj.答案:充要 6.有下列命题: ①若错误！未找到引用源。∥错误！未找到引用源。,则A,B,C,D四点共线;②若错误！未找到引用源。∥错误！未找到引用源。,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-错误！未找到引用源。e2,b=-e1+错误！未找到引用源。e2,则a∥b;④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是
(把所有真命题的序号都填上).【解析】根据共线向量的定义,若错误！未找到引用源。∥错误！未找到引用源。,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;错误！未找到引用源。∥错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-错误！未找到引用源。e2=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确.答案:②③④
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.【证明】如图,过B1作l3∥l1取点C2∈l3且BC=B1C2.因为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 所以错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。.因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线, 所以错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。=2λ错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。=μ错误！未找到引用源。=2μ错误！未找到引用源。.于是错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。(2λ错误！未找到引用源。+2μ错误！未找到引用源。)=λ错误！未找到引用源。+μ错误！未找到引用源。.因此错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。共面.故M,N,P,Q四点共面.8.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设错误！未找到引用源。=a,错误！未找到引用源。=b,错误！未找到引用源。=c.在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M和N,使错误！未找到引用源。=k错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=k错误！未找到引用源。(0≤k≤1).求证:(1)错误！未找到引用源。与向量a和c共面.(2)MN∥面A′AB.【证明】(1)显然错误！未找到引用源。=k错误！未找到引用源。=kb+kc, 且错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=a+k错误！未找到引用源。=a+k(-a+b)=(1-k)a+kb, 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=(1-k)a+kb-kb-kc =(1-k)a-kc.因此,错误！未找到引用源。与向量a和c共面.(2)由(1)知错误！未找到引用源。与向量a,c共面, a,c在面A′AB内,而错误！未找到引用源。不在面A′AB内, 所以MN∥面A′AB.
