用好法向量,巧解高考题_平面向量高考题讲解

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用好法向量，巧解高考题

为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向 量的应用将会更加广泛，这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够，特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概念：如果非零向量，那么 叫做平面 的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。

（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 面 所成的角 等于向量，则直线 和平

所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即。

中，底面是等腰直角 与的中点，点

在平(2003全国（理）18题)如图，直三棱柱三角形,，侧棱面上的射影是的重心（Ⅰ）求（Ⅱ）求点与平面到平面，分别是

所成角的大小（结果 用反三角函数值表示）； 的距离。

（Ⅰ）解：以设，则为坐标原点，建立如 图所示的坐标系，，，，∴ ,，∴，由 ∴为，则，得，，由，设平面，的法向量 得，令∴平面

得，，的一个法向量为∴ 与的夹角的余弦值是，∴ 与平面所成角为。

当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向 量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。

（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。

（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的中，,，，点

在上，且

四棱锥（I）证明：（II）求以（Ⅲ）在棱为棱，； 与

为面的二面角的大小；，使

？证明你的结论。上是否存在一点

（Ⅲ）解：以为坐标原点，直线分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐 标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为，∴ 设平面的法向量为，则由题意可知，，由 得，∴ 令得，∴平面的一个法向量为

设点是棱上的点，则，由 得，∴，∴当是棱的中点时。

同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向 量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。

（三）设二面角角的两个半平面和的法向量分别为，设二面的大小为，则二面角的平面角 与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时，；当二面角为钝角时。

我们再来看2004年高考湖南（理）19题：

（Ⅱ）解：由题意可知，∵ 设平面

∴ 的法向量为

为平面的一个法向量，则由题意可知，, ， 由 得，∴ 令 得，∴平面的一个法向量为，∴向量与夹角的余弦值是

为棱。

与，∴

为面的二面角是锐角，由题意可知，以∴所求二面角的大小为我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我 们可用这一特征来证明两个平面垂直。

（四）设两个平面和直。的法向量分别为，若，则这两个平面垂

（1996年全国（文）23题）在正三棱柱分别是。上的点，且

中，求证：平面

平面，证明：以为坐标原点，建立如 图所示的坐标系，则，，，∴，设平面的法向量为，则由题意可知，由 得，∴∴平面

令的一个法向量为

得，，由题意可知，平面∴的一个法向量为

平面

∴平面

（五）设平面的法向量为，则点到平面的距离等于

是平面外一点，是平面内一点，在法向量上的投影的绝对值，即。

我们再来看2003年全国（理）18题：（Ⅱ）解：设 ∴ 设平面 由，的法向量为，得，则，，则，，，令

∴平面

得，，而，的一个法向量为∴点 到平面的距离。我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平 面、两个平行平面的距离。

（六）设向量与两异面直线的法向量），都垂直（我们也把向 量称为两异面直线

上的点，则两异面直 线的距离

分别为异面直线等于法向量上的投影的绝对值，即。

中，点

所成的角为，（1999年全国（理）21题）如图，已知正四棱柱在棱上，截面，求异面直线

与，且面

与底面

之间的距离。

解：以连结面 为坐标原点，建立如 图所示的坐标系交于，连结，则

就是，与底面所成的角的平面角，∴又∵截面∴ 则 为=，∴，的中点，∴，为的中点，，∴ 设向量得，，都垂直，由，与两异面直线∴，∴，∴异面直线与之间的距离

前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何 证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性，一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，利用法 向量较为有效。