高级春招数学试卷一_春招数学试卷
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高2018级春招数学试卷一
一、选择题1.设集合 A． B．
C．，集合 D．，则
（）
2.已知角 的终边经过点，则 的值为（）
A． B． C．
中，上的动点，点
D．，为底面，点
为的，3.在长方体 中点，点 为对角线
上的动点（点
可以重合），则 的最小值为（）
A． B． C． D．
4.一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（）
5.某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高
一、高
二、高三各年级抽取的人数分别为（）
A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，30
答案第1页，总13页
6.等差数列 中，和 是关于方程 的两根，则该数列的前11项和 =（）．
A．58 B．88 C．143 D．176 7.已知
则 为（）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 8.下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若 B．“ C．若 ”是“ 为假命题，则
使得，则
”的逆否命题为：“若 ”的充分不必要条件、均为假命题，则
均有
则
”
D．对于命题
9.函数 在区间 的简图是（）
10.A和B是抛物线
上除去原点以外的两个动点，是坐标原点且满足，则动点
A． B．的轨迹方程为（）
C． D．
答案第2页，总13页
二、填空题 11.复数 ________．
b，则x=.12.设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a
13.若变量 满足 则 的取值范围是 ．
14.若三点 15.已知直线 则圆，及直线
共线，则
截圆的值为_________． 所得的弦长均为8，的面积是__________．
三、解答题
16.已知函数f（x）=（sinx+cosx）2 +2
sin 2 x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求f（B）的取值范围．
17.已知{a n }为等差数列，且a 3 ＝－6，a 6 ＝0．（1）求{a n }的通项公式；
（2）若等比数列{b n }满足b 1 ＝－8，b 2 ＝a 1 ＋a 2 ＋a 3，求{b n }的前n项和．
答案第3页，总13页
18.如图，在直三棱柱 中，是 的中点.（1）求证：（2）若
19.某种产品的广告费支出 与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数平面，；，求几何体的体积
据：参考数据
（1）求线性回归方程；（2）试预测广告费支出为
答案第4页，总13页
百万元时，销售额多大？
20.已知椭圆
求椭圆C的方程；（2）已知直线的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）
与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分(共有 20 道题的解析及答案)注意：答案顺序有点乱，但是每道题都有答案
一、选择题
1、B．
解析： 由题意得，2、A，∴，故选B．
解析：
3、C．，所以，故选A．
解析： 由题意易得：，因此
体对角线 于直线 点，交 上找一点 的对称点 于点，作 平面 于，由对称性可知
内，作它关
于，问题转化为在平面
使得，交直线，则
最小，如下图所示，过点 与点, 再过点
作的长度即为所求的最小值，易得
答案第5页，总13页
∴，．
4、C．
解析： 若以C图作为俯视图，则主视图中的虚线应为实线，故选C．
5、D 解析： 层比是，所以各个年级所抽取的人数就是：，6、B
．
解析： 根据根与系数的关系，又根据等差的性质，所以
7、B 解析： 则 终边在x轴上方，则 终边在y轴左侧，因此
角是第二象限的角
8、C 解析： 因为命题“若（A）对；因为，则 ”的逆否命题为：“若，则
”，所以，所以充分性成立，又，所以必要性不成立，即“
”是“
”
答案第6页，总13页的充分不必要条件，（B）对；若 命题，因此（C）错；因为命题 因此（D）对．
9、A 解析： 设，为假命题，则、至少有一个为假
均有，使得 的否定为，则，①，，②，当直线 垂直于x轴时，当直线 的斜率存在时，由题意可知斜率k不会为0，设，联立，得，∴，，∵，∴，即，③，∵
又∵点M满足 由③④⑤得： 而，即，⑤，④，满足上式，． ∴点M的轨迹方程为：
10、D
答案第7页，总13页
解析： 当 时，排除A,C；当 时，排除B，因此选择D．
二、解答题
11、【答案】（1）；（2）f（B）∈（1，3+
]．
【解析】
试题分析：本题主要考查平方关系、倍角公式、两角差的正弦公式、余弦定理、三角函数的周期、三角函数的值域等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用平方关系、倍角公式、两角差的正弦公式化简表达式，使之化简成的形式，再利用
计，得算周期；第二问，利用余弦定理将角转换成边，再利用余弦定理求出 到角A的值，得到角B的取值范围，最后求三角函数的值域． 试题解析：（Ⅰ）f（x）=1+sin2x+
（1cos2x）=sin2x
cos2x +1+
=2sin（2x）+1+
∴f（x）的最小正周期（Ⅱ）由2acosC+c=2b可得2a ∴cosA= =，∴A=
．
+c=2b，即b 2 +c 2 a 2 =bc，B+C=，∴0＜B＜，∴ ＜2B ＜，因为f（B）=2sin（2B）+1+，所以 ＜sin（2B）≤1，f（B）∈（1，3+
；（2）
]．
12、【答案】（1）
【解析】
试题分析：（1）设等差数列的首项和公差，然后代入所给两项，解方程组，求解；（2）第一步，求等比数列的前两项，第二步，求公比，；第三步，答案第8页，总13页
代入等比数列的前 项的和．
试题解析：解（1）设等差数列{a n }的公差为d． 因为a 3 ＝－6，a 6 ＝0，所以
解得a 1 ＝－10，d＝2．
所以a n ＝－10＋（n－1）×2＝2n－12．（2）设等比数列{b n }的公比为q．
因为b 2 ＝a 1 ＋a 2 ＋a 3 ＝－24，b 1 ＝－8，所以－8q＝－24，q＝3．
所以数列{b n }的前n项和公式为
S n ＝ ＝4（1－3 n）．
13、【答案】（1）详见解析；（2）。【解析】
试题分析：（1）由直三棱柱性质可知，侧棱垂直于底面，侧面为矩形。欲证 平面，根据线面平行判定定理，需要在平面，与
交于点O，则O为
内找到一条直线与
中，又因；（2）观的体积减去平行，连接 O,D分别为BC, 为 平面
中点，连接DO，在 的中位线，所以 的中点，则OD为，平面，所以： 平面
察图形可知，几何体 三棱锥的体积等于三棱柱的体积，由于是直棱柱，所以侧棱长就是几何体的高，又，所以底面为直角三角形，所以几何体，的体积为。
试题解析：（1）证明：连接，与 交于点O，连接DO 由直三棱柱性质可知，侧棱垂直于底面，侧面为矩形，所以O为 则 又因为 平面，平面，中点，答案第9页，总13页
所以：（2）平面 ；
.14、【答案】（1）；（2）存在实数 使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a和c的值，再利用
计算b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到 O，所以、，即，由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点，代入
和，解出k的值．
试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，所以，故所求椭圆C的方程为 ．
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 理由如下： 设点，将直线 的方程 并整理，得
代入，．（*）
则，．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即
．
答案第10页，总13页
又，于是，解得，经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．
所以当 时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
；（2）
百万元.15、【答案】（1）
【解析】
试题分析：（1）两次投球恰好命中一次包括两种情况，即甲能够命中而乙不能命中，或甲不能命中而乙能够命中，这两种情况是互斥的．根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）四次投球中至少有一次命中的对立事件是四次投球一次也不能命中，首先根据相互独立事件同时发生的概率做出一次也不能命中的概率，再用对立事件的概率公式得到结果． 试题解析：（1），．
于是可得：
因此，所求线性回归方程为：
．
（2）根据上面求得的线性回归方程，当广告费支出为
百万元），即这种产品的销售收入大约为
三、填空题
16、【答案】 【解析】 试题分析：
． ．
百万元．
百万元时，答案第11页，总13页
17、.试题分析：
18、【答案】 【解析】
试题分析：变量 满足 的区域如图所示，则目标函数
在图中虚线之间，则
Z的取值范围为
．
19、【答案】 【解析】
试题分析：，因为 三点共线，所以，解得 ．
20、【答案】 【解析】
试题分析：由题知直线 与直线 平行，且截圆 所得的弦长均为8，所以圆心到两直线的距离相等，两平行直线的距离
答案第12页，总13页，即圆心到直线 故圆的面积是
．的距离为3，则圆的半径
答案第13页，总13页
