数学归纳法在中学数学教学中的应用_中学数学教学应用

数学归纳法在中学数学教学中的应用由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“中学数学教学应用”。

浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用

摘要：数学归纳法是一种十分重要的数学论证方法，常用于与正整数有关命题的证明。本文是从数学归纳法的概念、正确的应用数学归纳法、灵活的应用数学归纳法来说明数学归纳法在中学数学教学中的应用。

关键字：数学归纳法；正确、灵活的应用

引言

数学归纳法是一种十分重要的证明方法，在数学学习中的应用十分广泛，而首先使用数学归纳法的是意大利数学家马奥罗修勒斯，他在1575年的著作《算术》中，用数学归纳法证明了前n个正奇数之和是2n。正是有了这个方法，我们在中学的数学学习中，数学归纳法被广泛用来解决一些数列、不等式、整除等问题。

一、数学归纳法的概念

在介绍什么是数学归纳法的之前，我们先来看看我国著名数学家华罗庚是这样评价数学归纳法的：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益。[1]”由此可见数学归纳法是多么重要，那么究竟什么是数学归纳法呢？

数学归纳法就是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要是从特殊到一般的思想，它使我们能够在一些个别事例的基础上，对某个普遍规律做出判断，作为证明某些与自然数有关的命题的一种推论方法，在解数学题中有着广泛的应用。在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。那么用数学归纳法论证的一般步骤是什么呢？第一步是证明命题nn0时成立，这是递推的基础；第二步是假设在nk时命题成立，再证明当nk1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据。

而数学归纳法所依据的数学公理是意大利数学家皮亚诺提出的皮亚诺自然数公理的的第五条（归纳公理）：任意一个自然数集合N，1属于N；假定N包含n，N也一定包含后继数n，则N包含所有自然数。[2] 归纳公理用准确的逻辑术语表达了自然数的性质，这是数学归纳原理的数学依据。从1开始，一个一个地选取可以达到任意自然数。这样一下子把整个自然数的无穷集合引入到论证中去，从而清楚地阐明了，为什么数学归纳法只用证两步，命题就被证明了。

而这两种数学归纳法也数学归纳法有第一数学归纳法、第二数学归纳法等。是最常用的方法。

第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 ①

当nn0(nN)时，P(n)成立；

② 假设当nk(kn0,kN)时，P(n)成立，由此推得nk1时，P(n)也成立，那么根据①、②知对一切正整数N，nn0时，P(n)都成立。第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 ①

当nn0(nN)时，P(n)成立；

② 假设nk(kn0,kN)时，P(n)也成立，由此推证nk1时，P(n)也成立，那么根据①、②对一切正整数nn0时，P(n)都成立。

在数学学习中，我们除了要掌握一些基本的计算问题外，还必须要求证明论断的正确性的问题，也就是所谓的“证明题”，解决这些证明题就是要作一整串的推理，而这些推理方法一般只是在有限的问题才能使用，我们把范围扩大为无限时，还能用这些方法解决问题吗？ 在数学里，常常要求对全体的对象来下结论，并且希望能证明我们的判断是正确的，那么这个问题将怎样解决呢？很明显，数学归纳法是解决这个问题的一种方法并且数学归纳法是严格的证明方法，并不是提供猜想的方法，它可以通过“有限来解决无限”的问题，使我们所用的归纳法成为完全归纳法，从而证明了论断的正确性。

二、正确的应用数学归纳法

有的人会认为数学归纳法很简单，就是那么两步：① 当n1时，命题成立；② 假设nk时，命题也成立，由此推证nk1时，命题也成立，那么根据①、②这个命题就成立了。

看似真的很简单，但是真的将数学归纳法应用到实际数学问题当中就会存在很多问题。

例1 用数学归纳法证明：

123……n=n(n1),(nN)2证明：（1）当n1时，原式左边=1，原式右边=1，原式左边=原式右边，故等式成立。

k(k1)成立； 2(k1)(k2)当nk1时，12……k(k1)。

2(k1)[(k1)1](k1)(k2)而 22（2）假设nk时，这个等式成立。即12……k 所以nk1时，原等式同样成立。

由归纳原理可知：123……n=这个证明对吗？

不仔细看，上面的证明方法好像是正确的，上面的证明似乎也应用了数学归纳法的两个步骤，特别的第二步也有了从“k”到“k1”的论证，但是事实上在证明12……kk(12……k(k1k)(1)22)的时候根本没有应用

n(n1),(nN)成立。2k(k1)这个式子作为基础来导出上面的等式，所谓的“k”到2“k1”的论证只不过是要把证明的等式写出来加以“注解”而已，等于什么事也没有做。

然而正确的做法应当是这样的：

当n1时，原式左边=1，原式右边=1，原式左边=原式右边，等式成立。假设nk时，这个等式成立。即12……kk(k1)成立； 2 这时把等式的左右两边同时加上k1，得：

12……k(k1)k(k1)(k1)2k2k2k2k23k2(k1)(k2)(k1)[(k1)1]22222 也就是说当nk1时，上式成立。

由归纳原理可知：123……n=n(n1)成立。2例2[3] 是否存在常数a，b，c，使得等式

122232nn12nn112an2bnc

对于一切正整数n都成立？证明你的结论。

思路分析：从特殊入手，探索常数a，b，c的值，考虑到了有3个未知数，先取n1，n2，n3代入等式，得方程组，求出a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对于一切正整数n都成立。解：把n1，n2，n3代入等式得方程组

abc24a34a2bc44，解得b11。9a3bc70c10猜想：等式122232nn1数n都成立。

下面用数学归纳法证明：

2nn1123n211n10对于一切正整证明：（1）当n1时，原式左边=4，原式右边=4，原式左边=原式右边，所以等式成立；

（2）假设nkk1,k+时，等式成立。即

122232kk12kk1123k211k10；

则当nk1时，122232kk1k1k222

kk112kk1123k211k10k1k2223k5k2k1k2 k1k2k123k512k2

2k1k2312k111k110

这就是说，当nk1k1,k+时，命题也成立。由归纳原理可知：122232nn1切正整数n都成立。

以上二例虽然都是应用数学归纳法来解决的，但是我们要明确一点，我们不能盲目的用，更不能乱用数学归纳法，我们一定要正确的应用数学归纳法，并且在应用数学归纳法的第二个步骤时特别注意“k”到“k1”的推导过程，有些同学在证这个过程的时候不能很好入手，或是不能解决这一关键步骤，这就要求我们必须学会灵活应用这一关键的地方。

2nn1123n211n10对于一

三、灵活的应用数学归纳法

例3用数学归纳法证明

111111 1234(2n1)2nn1n2nn11证明：（1）当n1时，原式左边=，原式右边=，原式左边=原式右边，所以

22等式成立；

（2）假设nk时，等式成立，即

111111.1234(2k1)2kk1k22k那么nk1时

11111234(2k1)2k(2k1)(2k2)1111 k1k22k(2k1)(2k2)5 111111 k2k32k2k12k2k111111 k2k32k2k12k21111 (k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)1111 1234(2k1)2k(2k1)(2k2)111(k1)1k(1)2k(1k(也成立。所以

1k)1k)(1)由归纳原理可知：

111111成立。1234(2n1)2nn1n2nn这里应该注意第二步nk1时与nk时，等式两边些什么变化，都增加了哪些项或是减少了哪些项，这样问题就能解决了。

接下来我们再来看一个应用数学归纳法证明整除的问题。例4用数学归纳法证明：(3n1)7n1能被9整除。(nN+)证明：当n1时，(31)7127能被9整除；

假设nk时，(3k1)7k1能被9整除，那么当nk1时

[3(k1)1]7k11[21(k1)7]7k1[(3k1)(18k27)]7k1 [(3k1)7k1]9(2k3)7k

[(3k1)7k1]和9(2k3)7k都能被9整除，[(3k1)7k1]9(2k3)7k能被9整除。

即[3(k1)1]7k11能被9整除，从而当nk1时，命题任然成立。由归纳原理可知：当nN+时，(3n1)7n1能被9整除。

这一题在应用数学归纳法时主要是当nk1时，要怎么拆分才能说明[3(k1)1]7k11能被9整除，不仅考察数学归纳法的应用而且考差了多项式 分解的一些基本能力，只要会分解了，那么应用数学归纳法就没有问题了。

11113。n1n22n2411713证明：（1）当n2时，即命题成立，2122122411113（2）假设nk时，成立； k1k22k24例5若n为大于1的正整数，求证： 则当nk1时，11111(k1)1(k1)22k2k12(k1)1111111()k1k2k32k2k12k2k11311242k12k2131242(2k1)(k1)13 24

即nk1时，不等式成立，由归纳原理可知：对任意的正整数n(n1)，11113成立。n1n22n24这里主要就是在nk1时候，现想办法尽量凑出假设nk成立的不等式，这样就把要推导的等式转化到了已经成立的不等式上面了，但这是针对这一个数学证明题，出了除了要求你的数学归纳法知识足够外，还要会应用证明不等式时常用的放缩法，这样才是一个完整的证明过程。

而在我们高中数学当中，很多情况下都会应用数学归纳法来解决一些数列的证明问题，这类题目通常用常规的数列计算方法不能解决时，我们就可以应用数学归纳法了。

下面我们先来看一个简单的等差数列求和公式的证明：

1例6求证等差数列前n项的和的公式为：Snna1n(n1)d。（a1为首项，d2为公差）

证明：（1）当n1时，S1a1，公式成立，（2）假设nk时，公式成立，即Skka1k(k1)d，那么nk1时，211Sk1Skak1ka1k(k1)da1(k1)1d(k1)a1(k1)(k1)1d22即当nk1时，公式也成立。

由归纳原理可知：对于nN+时，等差数列的前n项的和的公式为：Snna11。n(n1)d2针对这一问题，可以说数学归纳法应用的娴熟可以很容易的帮助我们解决，所以应用数学归纳法解决来解决数列问题时应值得深思，特别是在高考数学当中，此类题通常会被当做大题来考核学生，还有可能将此类题设为压轴题，如以下例题：

例7[3] 在数列an中，a12，an1ann122n(nN+)，其中0。求数列an的通项公式。

解：a12，a22222222，a322232222323a4232342233424

由此可猜想出该数列an的通项公式为：ann1n2n，(nN+)以下用数学归纳法证明。

证明：（1）当n1时，a12成立。

（2）假设nkk1,kN+时，等式成立,即akk1k2k 那么当nk1时，ak1akk122k

kkk1kk1222

k1k2kk122k

k1k1k112 8 这就是说，当nk1时，k1,kN+命题同样成立。

由归纳原理可知：数列an的通项公式为：ann1n2n，(nN+)。这个题如果用一般的的方法是很难入手的，很多同学就算用一般的方法解决这个问题也需要花费大量是时间和精力，并且很可能在计算当中一被绕进去就出不来了，在这些繁杂的计算当中还会很容易出现错误，所以应用数学归纳法是一条明智的选择。

除了以上在应用时需要应用的技巧外，还应该注意以下问题：

1、在应用数学归纳法之前，一定谨记是两个步骤，而且两个步骤缺一不可：第一步是证明该问题的递推基础，第二步是该问题的递推依据，没有第一步打基础就不可能有第二步。同样没有第二步只有第一步，这个数学归纳法就变成了不完全归纳法了。最后还要加上总结的话语，说明问题已经证明了。

2、在应用数学归纳法证明的时候，先按照步骤写下第一步，这是没有什么问题的，紧接着第二步就需要特别注意了，一定需要应用假设nk命题成立这一个条件，紧接着必须要把这一条件当作已知来充分利用，从而证明nk1时命题同样也成立。

四、结束语

数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的方法，无论在证明等式、整除、不等式、数列等问题时，数学归纳法都是至关重要的。学习数学归纳法，不仅可以学到更多的数学知识，又可以受到推理证明的训练，使自己的理性思维在不知不觉中得到了提高，而且拓宽了自己的数学视野，对于一些常规的与数有关，用一般方法不好证明的题时，这时用数学归纳法往往会得到意想不到的结果。特别是针对高中数学中数列问题的时候，学好数学归纳法意义深远。因此，学习并掌握好数学归纳法，对于我们在中学数学解题中有重要作用。

致谢：衷心感谢高建兴老师在论文写作过程中的指导和帮助！

参考文献

[1]朱华伟 钱展望，数学解题策略，科学出版社，2009.08 [2]方华，数学解题规律与思路分析，山东教育出版社，1982.02 [3]数列与数学归纳法，高中数学300题，上海交通大学出版社，2010 [4]洪波，怎样应用数学归纳法，上海教育出版社，1982.02 [5]弗里特曼 杜列茨基 斯捷欣柯，怎样学会解数学题，湖北人民出版社，1982.02 [6]陈自强，数学解题思维方法引导，中南工业大学出版社，1995.06

Of mathematical induction in the Middle School Mathematics Teaching

Hong-Ze Duan Faculty of Science, Yuxi Normal University, Student No.2008011155

Supervisor: Jian-Xing Gao

Abstract: The mathematical induction is an important mathematical proof method, commonly used in the proof of the proposition with the natural numbers.This article is from the concept of mathematical induction, the correct application of mathematical induction, the flexibility in the application of mathematical induction mathematical induction in the Middle School Mathematics Teaching.Keywords: mathematical induction;correct, flexible application