凹凸函数的性质_凹凸函数性质及应用

凹凸函数的性质由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“凹凸函数性质及应用”。

凹凸函数的性质

12文丽琼营山中学

四川营山 637700 2营山骆市中学

四川营山

638150

摘要：若函数f(x)为凹函数，则f(xx112xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

xx

若函数f(x)为凸函数，则f(2)

从而使一些重要不等式的证明更简明。

中图分类号：

文献标识号：

文章编号：

高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。

凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图

（一）凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图

（二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则

f(x1x2xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)是凸函数，则

xxf(12)

证明：若函数f(x)是凹函数，如下图

xx点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凹函数，切线在函数图像下方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nxnnax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12)f(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)为凸函数，如下图

xx

点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凸函数，切线在函数图像上方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12xnn)f(x1)f(x2)f(xn)n

定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。

xx均值不等式：12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

证明：∵ y=lgx 是凸函数

∴lg(x1x2xnn2)lg(x1)lg(x2)lg(xn)n

xx

∴lg(1xnn)lgnxx12xn

即

xx12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

高斯不等式：证明：∵ yxx1n22xn11xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

1(x>0)是凹函数 x11

2∴

1(x1x2xn)／nxx1n1xn

即

x1x2xnn211xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。例1 A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤

证明：∵A、B、C为三角形三内角 ∴A+B+C=π

A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx(0

∴

3333 2

∴sinAsinBsinCπsin

即

SinA+sinB+sinC≤

222222n1xx2xn)xxx例2 求证(1nn

证明：∵ yx 为凹函数

xx2xn)xxx

∴(1nnxxxxxx12n例3 求证（（k∈N）)nn

证明：∵ yx

（k∈N）为凹函数

2222n12k2k2k22kn12k2xx2xn)

∴(1n2kx2k1x2xnn2k2k

通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。