均值不等式求最值的类型及技巧_基本不等式求最值技巧

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均值不等式求最值的类型及技巧

贵州顶效经济开发区中学

代 敏

均值不等式abab(a0,b0，当且仅当ab时取等号）是一个重要的不等式，是求函数最2值的一个重要工具，也是高考中常考的一个重要知识点。要能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。但是，有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面介绍一些常见的最值问题求解方法供参考。一．配凑法 1.凑系数

例1.当0x2时，求yx(63x)的最大值。

分析：由0x2知63x0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和x(63x)62x不为定值，故须将yx(63x)凑上一个系数即可。解：yx(63x)=2.凑项 13x63x1(3x63x)23，当且仅当3x63x，即x1时取等号。33251，求函数fx4x2的最大值。44x51分析：由已知4x50，首先调整符号，又(4x2)不是定值，所以需对4x2作凑项得到定

4x5例2．已知x值。解：因为x5，所以54x0，所以 4fx4x2111(54x)32(54x)3231

4x554x54x1，即x1时取等号。

54x当且仅当54x3.分离

x23x1(x1)的值域。例3．求函数f(x)x1分析：本题看起来似无法运用均值不等式，但经过观察不妨将分子配方凑出x1的形式，再将其分离求解。

5x23x1(x1)25(x1)55 解：f(x)=(x1)x1x1x1（1）当x10，即x1时，f(x)2(x1)当且仅当x155255 x15，即x15时取等号。x1（2）当x10，即x1时，f(x)2(x1)当且仅当x155255 x15，即x15时取等号。x1x23x1(x1)的值域为,255所以，f(x)x1∪255,.二.换元

例4．求函数f(x)x2的最大值。

2x5分析：本题可通过变量代换使问题得到简化，而且将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从而为均值不等式创造条件。解:令tx2，则xt22(t0)，所以f(x)t2t21(t0)

（1）当t0时，f(t)0；

（2）当t0时，f(t)12t1t122t1t2，4当且仅当2t12，即t时取等号。t2332。x2得x；因此当x时，函数f(x)取最大值

224所以，由t三．整体代换

例5．已知x0,y0，且811，求x2y的最小值。xy81x16y)(x2y)10，xyyx分析：本题可巧妙运用“1”的代换，得到x2y(而x16y的积为定值，即可用均值不等式求得x2y的最小值。yx解：因为818116yx1，所以x2y()(x2y)82

xyxyxy1016yx16yx10218 xyxy当且仅当16yx81,1，即x12,y3时取等号。xyxy所以当x12,y3时，x2y的最小值是18.四．取平方

152x152x(x)的最大值。

22分析：本题中2x1与52x的和为定值4，从而可将解析式两边平方构造出“和”为定值，这样为均值例6．求函数y不等式创造了条件。

解：y2(2x152x)242(2x1)(52x)

4(2x1)(52x)8 又y0，所以由y28得，0y22

时取等号。2315所以当x时，函数y2x152x(x)取最大值22。

222当且仅当2x152x，即x五．三角代换

y21，求x1y2的最大值。例7．已知x0,y0,x22y21可联想到sin2cos21，若能将x,y用三角函数式代换，也可为均值不等式分析：由x22创造条件。

xcos解：令(0)

2y2sin22

所以x1ycos12sincos2(12sin2)

112cos2(12sin2)133222

 2cos(12sin)222224当且仅当2cos12sin，即226,x32,y时取等号。22所以，当x32322时，x1y取最大值。,y324总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时要掌握常见题型的求解方法，加强训练，多多体会，才能真正达到举一反三的目的。