56向量空间的同构_同构向量空间举例

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5.6向量空间的同构

一、线性空间同构的定义

定义1：

设 V, F、W, F

是两个向量空间。V 到W的一个映射 f 叫做一个同构映射，如果（i）f 是V到W的双射；（ii）, Vf（iii）

ff；aF, Vfaaf

如果V到V的同构映射存在，则称V与V同构，记为VV.二、同构映射的性质

1.设f 是V 到W 的同构映射，则f2.设 f 是V到W的同构映射，则（i）f00

（ii）Vff1'''是W 到V 的同构映射。



（iii）a, bF, , Vfabafbf

（iv）1, 2,, n 线性相关f(1),f(2),, f(n)线性相关.证明:(i)由定义的条件(3), 取0, 那么f(0)f(0)0f()0.(i i)由定义的条件(2), f()f()f(())f(0)0.所以有f()f().(i i i)利用条件(2)和(3)可直接得到.(iv)如果1,2,,n线性相关, 那么存在不全为零的数a1,a2,,anF, 使得a11a22ann0.由(i)和(iii)得到a1f(af2an(fnf)(a1a1(an))2.1)2nf于是f(1),f(2),,f(n)线性相关.(0)0

反之, 如果f(1),f(2),,f(n)线性相关, 那么存在不全为零的数a1,a2,,anF,使得a1f(1)a2f(2)anf(n)0

3.设

V, F、W, F是两个向量空间，1, 2,, n是V的基，f 是V到W的同构映射，则 f(1),f(2),, f(n)是W的基.证明思路:

1、f(1),f(2),,f(n)线性无关.2、每个都能由f(1),f(2),,f(n)线性表出.三、线性空间的同构

如果两个线性空间 V, F与 W, F之间可以建立一个同构映射,那么就说

V, F

与W, F同构,记作V, FW, F 定理5.6.1

设

V, F, dimnV，则

VF.n证明: 由V是数域F上的一个n维线性空间, 取定V的一个基{1,2,,n}, 对任意关于基{1,2,,n}的坐标为(a1,a2,,an).令f:(a1,a2,,an).显然f是V到F的一个双射.如果对于任意,V, 并且f()(a1,a2,,an), f()(b1,b2,,bn).由定理5.5.1得f()f(a1b1,a2b2,,anbn)(a1b1,a2b2,,anbn)

(a1b1,a2b2,,anbn)

(a1,a2,,an)(b1,b2,,bn)

f()f()

对于aF,f(a1,a2,an)af(), 从而f是V到F的同构映射, 故VF.定理5.6.2

向量空间的同构是一个等价关系.证明: 反身性和传递性显然, 下面主要证明对称性.设VW, f是线性空间V到W的同构映射, 由于f是V到W的双射, 所以是f是W到V的双射, 且ff1nnn1是W到W的恒等映射,是f1f是V到V的恒等映射.设,W, 由于f是V到W的同构映射

f(f1())f(f1())f(f1())

f(f1()f1()).因为f是单射, 所以f1()f1()f1().1同理可证, 对任意aF,W,f定理5.6.3

(a)af1(), 故有f1是W到V的同构映射.V, F, dimVnW, F, dimWmnm

证明: “”如果VW, 设f是V到W的同构映射, {1,2,,n}是V的基, 则由定理有f(1),f(2),,f(n)是W的一个基, 因而mn.“”设mn, 则VFn,WFn, 于是VW.定理表明: 数域F上具有相同维数的线性空间本质上是一致的.例：设1,2,,n是n维空间的V的一个基，A是ns 矩阵

(1,2,,s)(1,2,,n)A 证明：L(1,2,,s)的维数等于A的秩。

证明: 设Ak为A的第k列，则k(1,2,,n)Ak，设j1,j2,,jt是1,2,,s中的任意t个向量，则

xi1tjitjixji(1,2,,n)Aji(1,2,,n)xjiAji0i1i1tt

xjiAji0i1于是知，j1,j2,,jt与其所对应的t个列向量Aj1,Aj2,,Ajt有完全相同的线性关系，故1,2,,s与A1,A2,,Ar有相同的秩，即L(1,2,,s)的维数等于A的秩。