平面几何的几个重要定理西姆松定理答案_平面几何重要定理

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《西姆松定理及其应用》

西姆松定理：若从ABC外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线；证明：连接DE、DF，显然，只需证明BDEFDC即可；BDPBEP90B、E、P、D四点共圆，BDEBPE同理可得：FDCPFC又BEPPFC90且PCF180PBAPBEBPEFPCBDEFDCD、E、F三点共线

西姆松的逆定理：从一点P向ABC的三边(或它们的延长线)作垂线，若其垂足L、M、N在同一直线上，则P在ABC的外接圆上；

例1.设ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F；从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S，求证P、Q、R、S在同一直线上；证明：设ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆由西姆松定理有：Q、R、S三点共线又O、F、B、D四点共圆且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线P、Q、R、S四点共圆

例2.四边形ABCD是圆内接四边形，且D是直角，若从B作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E、F，则直线EF平分线段BD。证明：作BGDC,由西姆松定理有：F、E、G共线，又BFDFDGDGB90

四边形BFDG为矩形 对角线FG平分另一条对角线BD

例3.求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；证明：如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，AB交CD于点E，BC交AD于点F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为GBGFBGCCGFBECCDABGFA180，即圆ABF过点G同理圆AED也过点G圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P，由西姆松定理可知L、M、N在一条直线上，M、N、P在一条直线上，故L、M、N、P在同一条直线上

例4.设ABC的外接圆的任意直径为PQ，则关于P、Q的西姆松线是互相垂直的。

提示：由P、Q向BC作垂线并延长交外接圆于点P'、Q'，先证P'A、Q'A分别与点P、Q的西姆松线平行，再证PP'QQ'是矩形，则P'AO'A

练习

1、四边形ABCD是圆内接四边形，且CDA是直角，若从B点作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E、F，求证：EF或其延长线平分BD；

证明：由B作DC的垂线BG，由西姆松定理可知E、F、G共线

BFDFDG90

四边形BGDF是矩形，BD被另一对角线FG所平分

练习

2、如图，设P、Q为ABC外接圆上的两点，求证，若ABC关于P、Q的西姆松线DE和FG交于M，则FME＝PCQ;(奥林匹克数学高二分册P242、11题)证明：设PEFG＝N，PEQGL由题设可知，图中Q、F、G、C和E、L、G、C和C、E、D、P分别四点共圆EGQ＝FCQ，NLQ＝GCE，DEP＝DCPFME＝MENMNEDEPNGLNLCDCPFCQRCBPCQFME＝PCQ，2 练习

3、设ABC的垂心为H，其外接圆上任意一点P，求证:ABC关于P点的西姆松线过线段PH的中点。(奥林匹克数学高二分册P242、12题)