试计算酒桶体积和表面积_体积表面积计算公式

试计算酒桶体积和表面积由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“体积表面积计算公式”。

试计算酒桶体积和表面积

我读了《趣味几何学》，在“黑暗中的几何学”一章中，我了解了酒桶，对它体积和表面积近似计算时，可用图1：

即把酒桶看作两个截圆锥体，想算截圆锥体体积，要从圆锥体入手，从图2左图中可以看出，我们把圆锥沿底面半径切成如图2右图的近似的三棱锥无限个，要研究的仅是特定的一种三棱锥：

图1

把这个三棱锥扩成三棱柱，再扩为长方体，只需要证明三棱锥体积为长方体的，就说明了圆锥体积是等底等高的圆柱体的，过程见图3。

图2,左图2,右图3

可以从长方体中切去如图4的与原三棱锥全等的三棱锥3个，即ABDE、BCDG、DEGH，可得图5:

DABCDBHEJ图5，左FGE图5，右FG图4

从图5中看出，剩下的是一个与原三棱锥全等的三棱锥BEFG，还有一个大三棱锥BDEG，只要证明三棱锥BDEG的高是三棱锥BEFG的2倍即可（实际要证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的2倍，因为底面积相等，故用高代替）。看点划线长方形BDFH，取出它，如图6：

D2H12B:J:1图61F

从图中来看，DO是FO的三倍长，那么这两条线与两个三棱锥高有什么关系呢？可看图5中波浪线长方形，如图7：

（以下证明该图的正确：由于两条线DQ、PF都是与面BEG垂直且在面MNWZ上，而又是面MNWZ与面BEG的相交线，故PF及DQ都与

垂直，同时也说明二者平行，而D、F两点都在面MNWZ上，两点的连线必然在面MNWZ上，同样又由于

又是面MNWZ与面BEG的唯一的相交的部分，线上，P、Q、O三点且O点是DF线与面BEG的唯一相交点，故O点也在共线）从图中可以看出，由于三角形DOQ和FOP相似，前面已证明DO是FO的两倍，故DQ是PF的两倍，而DQ、PF分别是两个三棱锥的高，则证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的两倍。

综上所述，可得出圆锥体积公式：

再来看截圆锥体，如图8：

krhR

截圆锥体是两个圆锥相减的结果，为了分别知道圆锥的高，需要知道k，为此，我们看截圆锥体的截面，如图9：

图7krhR图8从中可以得出比例式：

然后分别求两个圆锥的体积：

故截圆锥体体积为：

来看酒桶，它近似于两个全等的截圆锥体，如图10：

rRhr图9

故可用截圆锥体公式来计算酒桶体积。

那么酒桶表面积呢？同样近似于截圆锥体。截圆锥体表面积也要从圆锥说起。如图11：

L

如上图点划线所示，可以把圆锥的侧面分成无数多个近似的三角形，它们的高是L，底之和为2，面积之和为： 图10即圆锥的侧面积为截圆锥侧面展开后得图12：

tL2лr2лR图11截圆锥的截面为图13：

trR

从图12中可以看出：

L图12根据图11，分别求两个扇形的面积（利用圆锥侧面积公式）：

即截圆锥体表面积为:

来看木桶，如图14：

rLR图13

加上下底面，表面积近似于：

至此，木桶体积和表面积近似式都已得出。高伟辰