2.5曲线与与方程 学案_25曲线与与方程学案
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《曲线与与方程》教学案 一﹑教材内容的地位与作用分析
《曲线与方程》是高二数学选修2-1第二章第一节的内容。曲线与方程的概念既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程和方程的直线等数学知识的深化，又是今后学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程。曲线和方程分别是几何与代数中的概念。在直角坐标系中，曲线有它的方程，方程有它的曲线。曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线则是代数方程的一种几何表示。根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，使几何图形的研究实现代数化。数与形的有机结合，在本章得到充分的展现。通过本节课的课堂教学，使学生初步了解数形结合的基本数学思想方法。
二、学生学习情况分析
学生已经学习了直线的方程和方程的直线的概念，初步掌握了利用直线的方 程来研究两直线的位置关系、两条直线的夹角和点到直线的距离等与直线有关的 知识，但未真正理解直线的方程和方程的直线的含义。通过本节课让学生进一步 理解直线的方程和方程的直线的含义。
三、设计思想
建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生 从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所 学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成 知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形 成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识 体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所 学知识意义的主动建构。基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。
具体流程如下：知识回顾(根据所学知识，提出新的问题)→构建新知(师生 共同探究，得出新的知识)→巩固新知(通过质疑讨论，理解突破难点)→尝试练 习(进一步理解概念)→课堂小结(回顾并反思)→布置作业
四、教学目标
1、理解曲线的方程和方程的曲线的概念
2、能证明满足已知条件的曲线C的方程是给定的方程f(x，y)=0
3、判断曲线与方程的关系
五、教学重点与难点
重点与难点：曲线的方程和方程的曲线的概念
六、教学过程设计
(一)知识回顾、提出问题
1、回顾直线的有关知识：两直线的位置关系；两直线的夹角；点到直
线的距离等；
2、我们是如何研究上述问题的(教师适时给予提示)；
3、给出直线的方程和方程的直线的定义：
①直线上的点的坐标都是某个一元一次方程的解；
②以该方程的解为坐标的点都是直线上的点。
4、提出问题：实际生活中，物体运动的轨迹绝大多数都是曲线，那么
我们又该如何研究这些问题呢？
(二)师生探究、构建新知
1、根据回顾的知识，类似可得：利用方程来研究曲线的有关问题
2、如何得出曲线与方程的关系(即：如何定义曲线的方程和方程的曲
线)能否利用我们所学知识考虑？
3、学生讨论，教师补充得到完整的定义：(在上述定义中修改)①曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；
②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点。
此时，把方程F(x，y)=0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程 F(x，y)=0的曲线。
(三)例题剖析、巩固新知
例
1、已知两点A(-1，1)、B(3，-1)，求证与这两点距离相等的点M的轨迹方程是2x-y-2=0。
证明：(1)：设M1(x1，y1)是直线 上的任意一点，则|M1A|=|M1B|
∴
即2x1-y1-2=0
∴轨迹 上的任意一点的坐标都是方程2x-y-2=0的解
(2)：设点M2(x2，y2)的坐标是方程2x-y-2=0的解，即2x2-y2-2=0
=
∵|M2A|= |M2B|=
∴|M2A|=|M2B| 即点M2是直线 上的点
由(1)(2)知：方程2x-y-2=0是轨迹 的方程。
例
2、(1)已知点A(1，0)、B(0，1)，线段AB的方程是不是x+y-1=0？
为什么？
(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹C的方程是不是x-y=0？
为什么？
(学生讨论，教师点拨)解：(1)不是。取点(-2，1)，该点满足方程x+y-1=0但不在线段AB上。
(2)不是。取点(-1，1)，该点到两坐标轴距离相等且距离都
为1，但1-(-1)=2≠0，也即不满足方程x-y=0。
(四)尝试练习、检验成果 见课本第33页
(五)课堂小结、回顾反思
学生归纳，互相补充，老师总结：
1、曲线的方程和方程的曲线的概念
2、证明方程是给定曲线的方程
3、判断方程是否为给定曲线的方程
(六)课外作业(略)
七、教学反思
1、直线的方程与方程的直线学习时间比较早，大多数学生对此概念已经遗
忘得差不多，因此本节课采用怎样的形式回顾这些知识，才能更合理些。
2、在师生共同探究并构建新知时，教师应该如何调整、把握课堂节奏。
3、是否有更好地方法分析例题，使学生更容易理解所学的新知识。
4、对于练习中存在的问题特别是不成立的问题，采用上述分析方法学生能
否理解。
5、课后对部分学生进行简单调查，反思此教案。
