全国高中数学联合竞赛1996年试题_全国高中数学联合竞赛

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一九九六年全国高中数学联合竞赛

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1.把圆x2+(y –1)2 =1与椭圆9x2+(y + 1)2 = 9的公共点, 用线段连接起来的图形是_________.(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形

12.等比数列{an}的首项a1=1536, 公比是q= –.用Tn表示它的前n项之积, 则Tn(nN)最大的是．2

____________

(A)T9(B)T11(C)T12(D)T1

33.存在整数npnn是整数的质数p________

(A)不存在(B)只有一个(C)多于一个,但为有限个(D)有无穷多个

14设x(– , 0),以下三个数: 1=cos(sinx), 2=sin(cosx), 3=cos(x+1)的大小关系是2

__________.(A)3

15.如果在区间[1, 2 ]上, 函数f(x)= x2 + px + q与)2在同一点取相同的最小值, x

那么f(x)在该区间上的最大值是__________.1151(A)424(B)424(C)124(D)以上答案都不对 4226.高为8的圆台内有一个半径为2的球O1, 球心O1在圆台的轴上.球O1与圆台上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球O2, 使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O2, 圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是_____________.(A)1(B)2(C)3(D)

4二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

11.集合{x| –1 log(1)10

2.复平面上非零复数z1,z2在以i为圆心1为半径的圆上z1,z2的实部

1为零,z1的辐角主值为 , 则z 2 = ____________.6

3.曲线C的极坐标方程是 = 1 + cos, 点A的极坐标是(2, 0).曲线C在它所在的平面内

绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________.4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六

面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两个基本点顶点的距离是__________.5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种

颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种.(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).6.在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为_______________.