2.2.1综合法与分析法_221综合法与分析法

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2.2.1 综合法与分析法

一．教学目标：

1．知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2．过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

3．情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

三．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

四．教学过程

直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。常用的直接证明方法有综合法与分析法。

综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。具体地说，综合法是从已知条件出法，经过逐步的推理，最后达到待证结论。分析法则是从待证结论出法，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实。

1.教学实例：

1232例1log519log319log219 1证明：因为 logba

左式=log 1952log 1933log 192log 19360l

因为log 19360log 19361

2所以 123

2log519log319log219

这个证明就是从已知条件出法，进行简单的运算和推理，得到要证明的结论，其中要用到一些已经证明的命题。

例2．如图，设四面体PABC中, ∠ABC=90°，PA=PB=PC，D中点，求证：PD 垂直于△ABC 所在的平面。

证明：连接PD，BD，因为BD 是Rt△ABC 斜边上的中线，所以DA=DB=DC，又因为PA=PB=PC，而PD 是△PDA、△PBD、△PCD 的公共边，所以△PDA≌△PBD≌△PCD，于是∠PDA=∠PDB=∠PDC，而∠PDA=∠PDC=90°，可见PD⊥AC，PD⊥BD，由此可知，PD 垂直于△ABC 所在的平面。

这个证明的步骤是：

（1）由已知BD 是Rt△ABC 斜边上的中线，推出DA=DB=DC，记为P0(已知)⇒P1；

（2）由DA=DB=DC，和已知条件，推出三个三角形全等，记为P1⇒P2；

（3）由三个三角形全等，推出∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，记为P2⇒P3；

（4）由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，推出PD 垂直于△ABC 所在的平面，记为P3⇒P4(结论)； logba

这个证明步骤用符号表示就是P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论).2．分析法

例3

证明：因为3

7和2

只需证明7）(25)

展开得10 + 2 2221

只需证明21

因为21

分析法证明的逻辑关系是：B(结论)⇐Bl ⇐B2 ⇐ „„ ⇐Bn ⇐A(已知).在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明的事实。因此从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。

例4．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。

LL证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为，正方形的面积为。42

LL因此本题只需证明>，242222

L2L2

为了证明上式成立，只需证明, 1642

两边同乘以正数411，得 24L

22LL因为上式是成立的，所以> 24

这就证明了如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。

从前面的例子可以看出，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件。综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件，分析法与综合法各有其特点。有些具体的待证命题，用分析法和综合法都可以证出来，人们往往选择比较简单的一种。从以上几中可以看出，分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路，综合法解题条理清晰，易于表述。因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻找思路，再用综合法有条理地表述解题过程

3．小结：

（1）分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是

从数学题的（2）已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。