综合法和分析法2_什么是分析法和综合法

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§2.2.1 综合法和分析法

一、教学目标：

（一）知识与技能：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程、特点。

（二）过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力。

（三）情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点： 了解综合法和分析法的思考过程、特点。

三、教学难点：

根据问题的特点，结合综合法和分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用。

四、教学过程:

（一）导入新课：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

（二）推进新课：

1.综合法

问题1:已知a,b>0,求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义。教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：学生独立分析，思考，找出以上问题的证明方法。

证明:因为b2c22bc,a0，所以a(b2c2)2abc。

因为c2a22ac,b0，所以b(c2a2)2abc。

因此 a(b2c2)b(c2a2)4abc。一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

综合法，又叫顺推证法或由因导果法。

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

pp1p2p3p4p5...pnQ

综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

例

1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.设计意图：可以学生进一步体会综合法的思考过程和特点，同时为学生用综合法证

1明数学命题起示范作用。

学生活动：学生独立分析，证明，再集体讨论，找出以上问题的证明方法。

师生活动：首先把已知条件进行语言转换，即将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C;A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是b2ac．然后再寻找条件与结论的联系：利用余弦定理把角和边联系起来，建立角和边之间的关系，进而判断三角形的形状．

证明：由 A, B, C成等差数列，有2B=A + C ．①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=．②由①②，得B=．③

3由a, b，c成等比数列，有b2ac．④

由余弦定理及③，可得

b2a2c22accosBa2c2ac．

再由④，得a2c2acac．

2即(ac)，0

因此ac．

从而A=C．⑤

由②③⑤，得 A=B=C=． 3

所以△ABC为等边三角形．

注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．另外，纠正不正确的表达，让学生学会规范化表达。

2.分析法

abab（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。问题2：基本不等式

2设计意图：引导学生回顾基本不等式的证明过程，引出分析法的定义。abab，师生活动：要证2只需证ab2ab，只需证ab2ab0，只需证(ab)20，由于(ab)20显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止,这种证明方法叫做分析法。

分析法，又叫逆推证法或执果索因法。

用Q表示要证明的结论，则分析法可以用框图表示为：

得到一个明显QQ1Q1Q2Q3Q2...成立的条件 

分析法的特点：执果索因

例

2、求证372。

设计意图：可以学生进一步体会分析法的思考过程和特点，同时为学生用分析法证明数学命题起示范作用。

学生活动：独立分析思考，合作交流。

教师活动：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。证明：因为7和25都是正数，所以为了证明

2，只需证

(7)2(25)2，展开得1022120，只需证215，因为2125成立，所以

(7)2(25)2成立。

在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21

‘构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论

P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

例3、已知,k(kZ)，且

2sincos2sin①

sincossin2②1tan21tan2求证：。1tan22(1tan2)

设计意图：为了说明综合法和分析法结合使用而设置的，总结归纳，概括出两种方法结合使用的思维特点。

学生活动：独立分析思考，自己给出证明，合作交流，说明证明中使用的方法。师生活动：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系

2(sincos)22sincos1，于是，由 ①一2×② 得4sin22sin21．把

4sin22sin21与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为

1cos2sin2(cos2sin2),再与4sin22sin21比较，发现只要把2

1cos2sin2(cos2sin2)中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的． 2

证明：因为(sincos)22sincos1，所以将 ① ② 代入，可得

4sin22sin21.③

另一方面，要证

1tan21tan2，221tan2(1tan)

sin2sin2112cos2即证，22sinsin12(1)cos2cos2

即证

1cos2sin2(cos2sin2)，2

即证

112sin2(12sin2)，2

即证4sin22sin21。

由于上式与③相同，于是问题得证。

用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:

pp1p2p3...pn1P



mQm1...Q2Q1Q1Q

（三）自我检测题：

一、选择题

1．下列说法不正确的是（）

Ａ．综合法是由因导果的顺推证法

Ｂ．分析法是执果索因的逆推证法

Ｃ．综合法与分析法都是直接证法

Ｄ．综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2）

Ａ．综合法Ｂ．分析法Ｃ．间接证法Ｄ．合情推理法

二、设a,b,c三数成等比数列，x,y分别是a,b和

ac

b,c2xy ablgalgb

三、如果a,b0,则lg 2

2（四）课堂小结：

综合法和分析法的特点。

（五）布置作业：

课本P89页1、2、3。