综合法与分析法之间的内在联系_什么是分析法和综合法

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综合法与分析法之间的内在联系

276600 山东莒南三中 刘凤淑 丁士彦

[丁士彦简介]生于1967年5月,92年曲阜师大毕业,现任中学高级数学教师,十多篇

论文或课件曾在省、国级教学杂志上发表或获奖.ph:*** Email:shiyand163@163.com

综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式。

1.综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。又叫顺推证法或由因导果。

其推理方式可用框图表示为：

其中P表示已知或定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，Q1、Q2„表示中间结论。

综合法常用的表达格式为：

∵P，∴Q1；又∵„，∴Q2；„，∴Qn；又∵„，∴Q

2.分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求它成立的充分条件，找到了这个条件，即说明所要证明的结论成立。又叫逆推证法或执果索因法。

其推理方式可用框图表示为：

→→其中Q表示所要证明的结论，Q1、Q2、Q3„Q0分别表示使Q、Q1、Q 2„Qn成立的充分条件，Q0表示最后寻求到的一个明显成立的条件。

分析法常用的表达格式为：

要证Q，只需证Q1，只需证Q2，„，只需证Q 0，由于Q 0显然成立，所以Q成立。综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法。

三值得注意的几点

1． 综合法的每一步都是三段论（或其简略形式），大前提一定要正确，否则证明易出

错。

2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明格式上应体现出“分析”探讨性（“要证„，只需证„”），而非直接肯定结论。

例1求证3 +7

227

错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了。改错：只需将“∵”改为“要证”，“∴” 改为“只需证”。

3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明（教科书P.99例3）。一般是先用综合法由已知条件P推出一个中间结论M，再用分析法探求，发现M正是使所证结论Q成立的充分条件；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q

成立的充分条件M，再用综合法由已知条件P推出M。

证明过程可用框图表示为 ：

←

（先）

（后）

←

例2教科书中对本题的证法是先综合后分析,框图如上一行的形式;我们还可以改用下

一行的框图,先分析后综合来证.sinα1-222 conα1-tanα1-tanβ证明: 要证=,只需证 = 222 1+tanα 2(1+tanβ)sinα 1+conα

sinβ1-conβ，2sinβ 2(1+ 2 βconβ

11222222即证 sinα-conαβ-sinβ),即证 1-2sinαβ)，22

即证4sinα-2sinβ=1③.另一方面,因为(sinθ-conθ)-2 sinθ conθ=1, 所以将已知中的①②代入上式,22即得4sinα-2sinβ=1③.于是问题得证.4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的,因此往往可以互相改写,但须注意二者表达格式的迥异.2222