高等数学基础作业答案4改（定稿）_高等数学基础作业答案

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（一）单项选择题

⒈D ⒉D ⒊B ⒋B ⒌B ⒍D

（二）填空题

⒈ 全体原函数

⒉ F(x)G(x)c

⒊ exdx

⒋ tanxc

⒌ 9cos3x

⒍ 3

⒎ 1

（三）计算题

2cos

⒈x21xdx

解： 由第一换元积分法

1xdxcos1(1)dx

xx2x21111

cos()dxcosd()

xxxxcos

cousdusinuc

sinc ⒉1ux1xexxdx

x解：由第一换元积分法

2xxx

2e(x)dx2ed(x)

2eudu2euc xuexdx2ex1dx

x

2e⒊

c

1xlnxdx

解：由第一换元积分法

111dxxlnxlnxxdx

11(lnx)dxd(lnx)

lnxlnxlnxu1

dulnuc

u

lnlnxc

⒋xsin2xdx 解：由分部积分法

xsin2xdx1xd(cos2x)2x1cos2x(cos2x)dx 22x12xcos2xdx

cos22x12xsin2xc

cos24e3lnxdx ⒌1x

解：由定积分第一换元积分法 e1e3lnx1dx(3lnx)dx

1xx





⒍

e1e(3lnx)(lnx)dx(3lnx)d(lnx)

1e1(3lnx)d(3lnx)

u23udu2443lnxu37 210xe2xdx

10解： 由定积分分部积分法 xe2x1dxxd(e2x)

021

⒎

1x1e2x(e2x)dx

022012112xeedx

22011212xee

240111e2e2

24413e2 441e1xlnxdx

ee解：由定积分分部积分法 1xlnxdx1x2lnxd()

2e2exx2lnxd(lnx)

1221e21e21e21exdxxdx

122x221ex

24⒏22e11e2 44e1lnxdx x2解：由定积分分部积分法 e1elnx1dxlnxd()21xxe11

lnx()d(lnx)

1xx1ee1111

2dx

1eex1x112

11

eeee

（四）证明题

⒈证：由定积分的性质

对aaf(x)dxf(x)dxf(x)dx

a00a0af(x)dx做变量替换，令xt，则dxd(t)dt

0a

f(x)dxf(t)dtf(t)dt

a00a因为f(x)是奇函数，所以

由此得

0af(x)dxf(t)dtf(t)dtf(x)dx

000aaaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx0

00aa⒉证：由定积分的性质

对aaf(x)dxf(x)dxf(x)dx

a00a0af(x)dx做变量替换，令xt，则dxd(t)dt

0a

f(x)dxf(t)dtf(t)dt

a00a因为f(x)是偶函数，所以

由此得

0af(x)dxf(t)dtf(t)dtf(x)dx

000aaaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx2f(x)dx

000aaa