matlab求定积分之实例说明_matlab怎么实现定积分
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一、符号积分
符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：
int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：
求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：
>>syms x y z %定义符号变量
>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)%注意定积分的书写格式
F2 =
1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)%给出有理数解
>>VF2=vpa(F2)%给出默认精度的数值解
VF2 =
224.92***3***280
5二、数值积分
1.数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例：
求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为1。
>>fun=inline('exp(-x.*x)','x');%用内联函数定义被积函数fname
>>Isim=quad(fun,0,1)%辛普生法
Isim =
0.74682418072642
5IL=quadl(fun,0,1)%牛顿－柯特斯法
IL =
0.***
三、梯形法求向量积分
trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式，数值方法)。
>>d=0.001;
>>x=0:d:1;
>>S=d*trapz(exp(-x.^2))
S=
0.7468
或：
>>format long g
>>x=0:0.001:1;%x向量，也可以是不等间距
>>y=exp(-x.^2);%y向量，也可以不是由已知函数生成的向量
>>S=trapz(x,y);%求向量积分
S =
0.***
int的积分可以是定积分，也可以是不定积分（即有没有积分上下限都可以积）可以得到解析的解，比如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的方法来解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的结果是7/3
quad是数值积分，它只能是定积分（就是有积分上下限的积分），它是通过simpson数值积分来求得的（并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的）。如果f=inline('x.^2');quad(f,1,2)得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3
int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。
[FROM: 58.192.116.*]
对于y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))，被积函数之原函数无“封闭解析表达式”,符号计算无法解题，这是符号计算有限性，结果如下：
>> syms x
>>y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))
>>s=int(y,x,0,inf)
y =
exp((-x^2-x-1)/(1+x))
Warning: Explicit integral could not be found.>> In sym.int at 58
s =
int(exp((-x^2-x-1)/(1+x)),x = 0..Inf)
只有通过数值计算解法
>> dx=0.05;%采样间隔
>>x=0:dx:1000;%数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点，只要终值足够大，精度不受影响
>>y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x));
>>S=dx*cumtrapz(y);%计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得 >>S(end)
ans =
0.5641 %所求定积分值
或进行编程，积分上限人工输入，程序如下：
%表达式保存为函数文件
function y=fxy(x)
y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x));% save fxy.m
% main--------主程序
clear,clc
h=.001;p=0;a=0;
R=input('请输入积分上限，R=')
while a
p=p+(fxy(a)+fxy(a+h))*h/2;
a=a+h;
end
p=vpa(p,10)
运行主程序后得到结果：
请输入积分上限，R=1000
R =
1000
p =
.5641346055
其它结果如下：
0-1: int=.3067601686
0-2: int=.4599633159
0-5: int=.5583068217
0-10: int=.5640928975
0-100: int=.5641346055
0-1000: int=.5641346055
[FROM: 211.65.33.*]
在积分函数中,sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3通过函数参数输入,如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了，可以求三重积分了。
完整函数程序：
function Fn(n1,n2,n3)
if n1==0
e1=1;
else if n1>0
e1=2;
end
end
if n2==0
e2=1;
else if n2>0
e2=2;
end
end
if n3==0
e3=1;
else if n3>0
e3=2;
end
end
F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);
S=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)%求三重数值积分
将以上代码保存为Fn.m程序文件，即m文件，然后运行：
>> Fn(1,1,1)
S =
866.9655
[FROM: 211.65.33.*]
三重积分请用三重积分函数triplequad，与三个积分上下限对应，即x=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)
其中被积函数F用“匿名函数”来表达，即
F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);
如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了。
完整函数程序：
function Fn(n1,n2,n3)
if n1==0
e1=1;
else if n1>0
e1=2;
end
end
if n2==0
e2=1;
else if n2>0
e2=2;
end
end
if n3==0
e3=1;
else if n3>0
e3=2;
end
end
F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);
x=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)
>> Fn(1,1,1)
x =
866.9655
[FROM: 58.192.116.*]
