柔性机器人的动力学研究_机器人柔性动力学论文

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柔性机器人的动力学研究

摘要：现代机械向高速、精密、轻型和低噪声等方向发展，为了提高机械产品的动态性能、工作品质，必须十分重视机构动力学的研究。特别对于高速运行的机器人，在外力与惯性力作用下，构件的弹性变形不可忽略，它不仅影响了机构的轨迹精度和定位精度，破坏系统运行的稳定性和可靠性，同时降低了工作效率和整机的使用寿命。对有害动态响应的消减是机械动力学研究的重要问题。本文以柔性机器人为例，阐述了柔性机器人动力学分析的研究现状及其发展趋势，对Lagrange法，有限元法、变Newton-Euler方法、Kane方法等方法进行了详细阐述和比较为柔性机器人的控制和优化设计提供科学基础。关键字：柔性机器人 动力学 Lagrange 变Newton-Eule方法 Kane方法 有限元法

Dynamics of Flexible Manipulators Name: Liu Fuxiu

Student ID: 1211303007

(Mechanical Engineering of Guangxi University, Mechanical Design and Theory 12 research)

Abstract: The modern machinery to speed, precision, lightweight, and low noise direction, in order to improve the dynamic performance and quality of work of mechanical products, Research into the dynamics must be attached great importance to institutions.Especially for high-speed operation of the robot, under the external force and inertial force, the elastic deformation member can not be ignored, it only affects the body path accuracy and positioning accuracy, destroy the stability and reliability of the system, while reducing the efficiency and whole life.Abatement of hazardous dynamic response is an important iue of mechanical dynamics.In this paper, flexible robot, for example, describes the flexible robot dynamics analysis of present situation and development trend of the Lagrange method, finite element method, variable Newton-Euler method, Kane method and other methods were described in detail and compared to the flexible robot control and optimize the design to provide a scientific basis.Keywords: flexible robot dynamics Lagrange Newton-Euler method FEM method Kane finite element method 1 引 言

现代科学技术的发展和进步产生了机器人，机器人是机器进化和技术进步的必然结果，而机器人技术有促进生产力的发展。“机器人”源于捷克语“robota”，意思为工作。美国机器人协会对它的定义是:“机器人是一种可再编程的多功能操作机，可以用各种编程的动作完成多种作业，用于搬运材料、工件、工具和专用装置”。自从1959年的Unimation公司推出第一台工业机器人以来，各种机器人或机械手广泛运用于许多领域。它们可以替代人类劳动，完成各种精密、繁重环境恶劣，甚至是危险的任务。

机器人动力学主要研究机器人机构的动力学，机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，也是机器人系统中的被控对象。对机器人动力学的研究，应该说，在机器人一出现就已经开始，且随着机器人技术的发展而不断地加以丰富和积累。机器人动力学与其他一般力学、机构动力学比较，它与现代控制技术和计算技术更为密切相关。设计机器人的控制系统，以及实时控制机器人本身的过程中，不可避免地要运用现代计算技术，因此对于动力学的研究必须适应现代计算技术，并需要解决一系列新的问题。如何合理有效地降低机器人的机构重量，成为削减机器人系统总重量的关键所在，近年来，国际竞争越来越激烈，用户在希望成本降低的同时，对机器人的精度、工作速度、负载能力也提出了越来越高的要求。然而，机构的惯性力和角速度的平方成正比，随着工作速度的不断提高，惯性力将成为柔性机械臂变形的主要影响因素。因此，必须尽可能精确地分析机器人在高速情况下的运动动力学特性，从而有效地提高其精度，以上诸多因素导致了柔性机器人及其设计理论的出现。2 工业机器人动力学简介

柔性机器人动力学建模和仿真的理论基础是柔性多体系统动力学，柔性多体系统动力学研究由刚体和柔性体组成的复杂机械系统在经历大范围空间运动时的动力学行为，是多刚体系统动力学的自然延伸和发展。它主要研究柔性体的变形与其大范围空间运动之间的相互作用或相互藕合，以及这种藕合所导致的动力学效应。柔性体的变形运动与柔性体大范围空间运动的同时出现及其相互藕合是柔性多体系统动力学的本质特征。这个特征使其动力学模型不仅区别于多刚体系统动力学，也区别于结构动力学，是两者的结合与推广。柔性系统动力学是与经典动力学、结构动力学、控制理论及计算机技术及计算数学紧密相联的一门新兴交叉学科，在航空航天、机器人、高速机构及车辆等各个领域有着广泛的应用，成为目前理论和应用力学最活跃的分支之一。

2.1 机器人动力学问题

动力学方程是研究物体的运动和作用力之间的关系。常见的动力学问题有两类：

第一类对象是在运动状态下工作的机械或结构，它们承受着本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力载荷，这类问题是动力学的力分析，或称之为动力学的正问题。己知系统必要的运动，通过运动学分析，计算与己知运动有关的运动链各连杆的位移、速度和加速度，求得各关节的驱动力或反力。

第二类对象是承受动力载荷作用的工程结构。这类问题是动力学的运动分析，或称之为动力学的逆问题已知作用在机构上的外力和各关节上的驱动力，计算各关节(或连杆)运动的加速度，对加速度进行积分求得所需要的速度和位移。

机器人本质上是具有以下特征的复杂系统。

1.具有多关节自由度、强耦合和高度非线性化的复杂的空间机构； 2.具有复杂部件结构形状和材质特性的变结构体系；

3.具有一定的结构柔性，运动中结构会发生弹性形变，关节具有弹性，运动系统会有低频振荡趋势的弹性结构体系；

4.存在部件制造和装配误差及装配间隙的影响的复合结构。

机器人的动态特性包括其工作精度、重复能力、稳定性、空间分辨度和依从性等。这些特性取决于工具及其功能、手臂的几何结构、单独传动点的精度以及进行运动计算的计算机程序的质量等，主要描述了如下能力：

它能够移动得多快，能以怎样的准确性快速地停在给定点，以及它对停止位置超调了多少距离等等。当工具快速移向工件时，任何超调都可能造成重大损害或事故。另一方面，如果工具移动得太慢，那么又会耗费过多的时间。机器人的稳定性涉及系统、装置或工具运动过程中无振荡问题。

2.2柔性多体动力学的主要研究问题

（1）柔性体建模方法

柔性体建模根据参考坐标系选取的不同，可以归为三类:浮动坐标系方法、随转坐标系方法和惯性坐标系方法。浮动坐标系方法是将多刚体动力学与结构动力学结合的一种方法，这种方法使多刚体动力学软件扩展应用于柔性多体系统成为可能，是目前柔性多体系统建模使用最广泛的方法。随转坐标系方法源于计算结构动力学，随转坐标系随弹性体内部的每个单独的有限元的平均刚体运动而运动。这种方法被用于大位移，大转角和小应变结构的建模。惯性坐标系方法源于大变形非线性有限元和连续体力学原理。惯性坐标系方法又称为绝对节点坐标方法，不再区分物体的刚体运动和变形，采用一致质量有限元对柔性体进行离散。与浮动坐标系方法比较，随转和惯性坐标系方法有一些共同的优点:惯性张量的平动部分是线性的常量;考虑了运动的非线性，如大转动和动力刚化等自动得到满足。但是直到20世纪80年代后期，计算效率低是使用这两种方法的瓶颈。随着计算机速度的几何量级的提高与并行处理的技术发展，这两种方法有可能很经济的应用于实际的柔性多体系统。根据力学的基本原理，基于不同的建模方法，得到形式不同的动力学方程，尽管在理论上等价，但是其数值性态的优劣不尽相同。显然，评价一个柔性多体系统动力学模型优劣的重要标准应该是该模型是否能够可靠和高速处理各种动力学现象。通常解的精确和计算所要付出的代价是一对矛盾，因此有必要对各种建模方法进行对比研究，研究它们适合应用的问题范围，探讨更加高效、精确的建模方法，建立准确和高效的做大范围运动的梁、板、壳和体单元模型。

（2）刚柔耦合动力学研究

柔性多体系统刚柔耦合动力学建模理论的研究大致分为如下四个阶段: 1)运动—弹性动力学(KED)。2)混合坐标方法。

3)动力刚化问题的研究。4)刚柔耦合问题研究。

一次近似模型揭示了刚——柔耦合的本质，但是其对非线性变形场的描述并不完美。一次近似模型的耦合形函数从梁的端点沿整个轴积分，这就限制了其应用范围只能是直梁等具有规则外形的柔性体，对于像中间有孔或不规则形状的板等一般柔性构件，沿整轴积分的一次耦合模型则无能为力。

刚柔耦合动力学建模理论可由如下几个指标来考核: 1)科学性，应该从严格的理论推导得到，而不是通过猜测捕捉得到;2)通用性即可以推广到不同连续柔性体构件，而不能像传统一次耦合模型依赖于沿整个轴积分;3)识别性，能够区分刚体运动和弹性变形;4)兼容性，能够退化为零次耦合模型;5)高效性，即具有较快的计算速度。已有的建模理论都无法同时满足以上指标，因此需要发展能同时满足以上要求的新的刚柔耦合动力学建模理论。此外，对于有多个柔性体与多种铰形式的多体系统的刚柔耦合问题也有待进行深入研究。

（3）接触碰撞问题

接触碰撞问题广泛的存在与机械工程，土木工程等领域，一直是学术界研究的一个热点。接触碰撞在柔性多体动力学中的应用主要有:机构装配、结合间隙、轮轨接触、空间机构的对接、机械臂抓取、结构变拓扑等。接触碰撞建模方法首先进行碰撞搜索检测，根据碰撞搜寻运算法则进行了分类:主从法则和等级区域法则。一旦碰撞被侦测到，需要建立碰撞动力学模型。主要有三种碰撞建模方法:冲量方法、Hertz方法及约束变形方法。冲量方法是基于碰撞过程中碰撞物体的位形不发生变化的假设基础上，利用动量守恒定律，用冲量描述了碰撞的不连续过程。冲量方法具有较高的计算效率，但是无法反映碰撞过程中力的关系。Hertz方法用弹簧阻尼器这一力元来描述碰撞过程，也具有较高的计算效率，在工程中得到比较广泛的应用。但是Hertz模型局限性在于无法得到确定弹簧刚度阻尼参数和嵌入深度的统一法则。接触碰撞问题的本质特点是具有单边约束和未知接触碰撞区域。采用约束变形方法能够真正从物理上对接触碰撞问题进行准确描述。弹性变形方法一般采用线性有限元的方法对碰撞区域进行处理。

具有高速算法的大型的软件系统是解决此类问题的一个基础，当前的关键问题是如何正确描述接触碰撞这些工程常见现象，提出它们力学本构关系，即建立精确而又高效的接触碰撞力学模型。在斜碰撞问题还涉及到摩擦问题，目前多简单应用库仑摩擦模型。在柔性体碰撞过程中，弹性波的传递有着显著的影响，因此需要碰撞过程中的波动效应进行研究。此外还需进行研究来评估铰的速度—力之间的关系、间隙、尺寸精度和迟滞性，这样才能真正有效地解决当前工程中提出的大量复杂的动力学问题。

（4）微分代数方程求解技术 对受约束柔性多体系统进行建模，建立的方程一般由两部分组成:一是动力学方程，为微分方程;二是约束方程，为代数方程。二者联立称为微分-代数混合方程(DAE方程)，它与常微分方程不同，在数值计算上存在困难。在仿真过程中随着误差的积累，约束方程的违约加剧，得到的解已经不能表示受约束多体系统的真实运动，必须对约束方程的违约进行抑制，使数值积分得以顺利进。目前的研究方法大体可分为两类:一种是从微分-代数方程组本身出发，利用现代数学的研究成果将约束方程定义为流形，对微分-代数方程组进行降阶处理，将其转化为由约束方程定义的流形上的常微分方程;另一种方法是在动力学方程中引入附加校正项，当约束方程产生违约时，对动力学方程进行校正。目前还没有校正系数的自动选取方法，大都凭经验选取校正系数。

研究高效而又精确的微分-代数方程组的求解技术将一直是柔性多体动力学的一个难点和热点。其发展趋势是违约校正不能以破坏系统的动力学方程为代价，校正方法应自动进行，不需人工干预。此外还需要对计算方法的改进以提高计算效率，可以从以下几方面着手:建立显式和隐式求解程序的指导准则，并行算法，适应算法及符号推导等。

（5）多物理场耦合多体动力学的一个主要目标就是预测一个多体系统的机械响应的时间历程。实际的工程对象涉及机械响应和其他形式的物理场的相互耦合。当前，这方面研究主要集中在热力耦合、流固耦合和机械-电磁耦合方面。系统由于材料阻尼会产生更多的热，绕轨道飞行的航天器受到非常不均有的太阳辐射，也会产生热—力耦合效应。精确模拟这些系统的运动需要考虑双向的热力耦合。当柔性多体系统在流体介质中运转时，该系统和流体的相互作用问题，比如喷气发动机、旋翼飞机、机翼推动式飞行器、潜水机械系统和柔性管道中的流体流动，这些问题的精确和常用解法需要仔细考虑流体的流动与流固表面的相互作用。带扰性体的充液卫星，就是典型的流体-刚体-柔性体耦合的典型问题，这方面已经有大量的研究。机械-电磁耦合一个典型的例子就是断路器，通过多体系统和电磁系统的相互作用实现对电路的控制。多体系统与不同物理场的双向耦合作用在生物力学，航天航空，空间结构及纳米结构中有很多的应用。

理论上，耦合问题中的所有物理场的动力学方程必须联立求解。当前，在软件工程上正在研究一种先进的语言，以实现多种物理场动力学模型的联合编程。然而，目前耦合问题主要采用近似迭代的处理方法。对于耦合场问题的某些特殊情况，即两个场的耦合度在一个方向上非常强。在这种情况下，先单独计算主要场，次要场的贡献利用迭代的结果。由于实际问题中要求的柔性体更轻，运动更快、更精确，这就增加了对耦合响应预测的要求。如何在耦合场中考虑耦合效应项，并且评估这些耦合项的影响将是多物理场耦合问题的关键。

（6）试验研究

过去，实际柔性多体系统的设计和分析主要依赖于试验。柔性多体动力学的实验研究始于20世纪70年代，比理论研究稍晚一点。实验研究可以分为三个方面:理论模型验证实验，目的是为了检验某种理论方法的正确性和有效性;动力学特性实验，即用实验手段来研究系统的某些动力学特性，如模态、频率和振型，共振等;其他实验，如动力学控制实验，碰撞实验等。刚柔耦合动力学性态的实验研究在国内外是一个空白，包括1987年Kane的反例也没有实验的对照。杨辉等利用单轴气浮台对旋转的柔性梁进行了试验，通过理论计算与实验结果的对照，首次从实验的角度验证了一次近似模型在处理做大范围运动的柔性梁建模理论的正确性和有效性，并对刚柔耦合系统的动力学特性进行了分析，指出大范围运动将对系统的动力学特性产生显著影响。

从20世纪80年代开始，计算机速度和计算建模的优点使得计算机模型变得更加可靠。然而，数值上证明正确的建模理论必须得到实验验证才可信。试验研究依然十分重要，因为它们被用来发展、提高、评估数值模型的保真度。通过物理试验与仿真的配合使用，柔性多体系统的物理试验的花费和次数会大大降低。在物理试验和仿真的界面使用驱动器和传感器，可以生成试验和仿真需要的界面力。因此未来研究一方面要通过设计新试验来验证理论，另一方面通过试验可以为进一步深入进行理论研究提供重要的启示，同时还要注意物理试验和仿真的配合使用。

3柔性机器人动力学的发展及现状

随着国民经济和国防技术的需要，多体系统的构型越来越复杂，规模越来越庞大。目前工程中复杂多体系统的部分构件已采用轻质柔性材料，系统的运行速度加快，运行精度的要求越来越高，系统的动力学性态越来越复杂。部件作刚体假设的多刚体系统动力学已无法解释系统复杂的动力学性态，因此必须考虑部件大范围运动和构件本身的变形。如何对不同的拓扑、不同的约束、不同的受力与控制环节的多体系统建立通用的程式化动力学模型及处理这些数学模型的计算方法，这些都已成为工程预研与设计的大难题。因此，当前多体系统动力学的研究对象已经由多刚体系统拓展到柔性多体系统。

柔性机器人动力学建模是柔性多体系统动力学的一个分支，柔性多体动力学的分析与研究对于高速、轻型、重载、控制精度要求高的复杂机构以及大尺寸的航天器、工业机器人等都有重要的理论和实际意义。70年代初期，P.W.Likins、W.Sunada、S.Dubowsky、E.J.Hang、A.A.Shabana等人对柔性多体系统的研究，Erdman、Sandor和Winfrey将结构动力学的有限元方法引入到了机构弹性动力学中，1972年，Erdman和Sandor正式将这一个分支命名为运动弹性动力学（Kineto-Elastodynamic Analysis，KED），70年代末，结构动力学的有限元法开始被用于机器人动力学分析，从而开始了对柔性机器人的研究。80年代，中国学者开始对柔性多体系统及柔性机器人动力学进行研究。基于弹性机械臂的动力学建模与控制方法的研究就成为解决上述矛盾的有效途径。

最早的运动-弹性动力学方法（KED法）不考虑构件的弹性变形对其大范围运动的影响，而通过多刚体系统动力学分析得到构件运动性态，加上构件的惯量特性，以惯性力的形式加到构件上，然后根据惯性力和系统的外力对构件进行弹性变形和强度分析。这种方法实质上是将柔性多体系统动力学问题转变成多刚体系统动力学与结构动力学的简单叠加，忽略了二者之间的耦合。随着轻质、高速的现代机械系统的不断出现，KED方法的局限性日益暴露出来。为了计及构件弹性变形对其大范围运动的影响，人们首先对柔性构件建立了浮动坐标系，将构件的位形认为是浮动坐标系大范围运动与相对与该坐标系变形的叠加，提出了用大范围浮动坐标系的刚体坐标与柔性体的节点坐标（或模态坐标）建立动力学模型。在具体建模过程中先将构件的浮动坐标系固化，弹性变形按某种理想边界条件下的结构动力学有限元（或模态）进行离散，然后仿照多刚体系统动力学的方法建立离散系统数学模型。这种方法虽然考虑了构件弹性变形对大范围运动的影响，但在对柔性体离散时没有考虑大范围运动对其的影响，且在有限元（或模态）进行离散时有很大的随意性。从实质上这种方法是柔性多体系统的一种零次近似的耦合动力学，即目前所采用的传统KED法。Kane、Ryan与Banerjee采用Kane方程对一空间大范围运动悬臂梁的运动进行描述时，他们的研究结果表明，当柔性体高速转动时会产生“动力刚化”现象，即柔性体因大范围空间运动和变形间的相互耦合导致柔性体刚度的增大形成附加动力刚度。在这以后，Banerjee与Kane用相近的方法研究了空间大范围运动弹性板诸如“动力刚化”等动力学现象，动力刚化的现象指出了柔性多体系统耦合动力学的零次近似建模理论的不足，围绕动力刚度项的存在与系统运动的关系的研究，国内外学者提出了附加初始应力几何刚度法、非线性有限元法、子结构法和有限段法。不断有研究表明，采用零次近似的耦合方法得到的柔性多体系统动力分析结果，有的和工程实际比较接近。随着研究的不断深入，非线性建模理论在柔性多体动力学的研究过程中将扮演者十分重要的角色。

线性弹性变形与非线性刚体运动的高度耦合使柔性机器人的运动学及动力学描述变得极为复杂，而柔性机械臂的动力学系统本质上是无穷维的，柔性机械臂在运行过程中产生扭曲、弹性、剪切等变形，给这类柔性机械臂的分析和控制带来了许多困难。从本质上来说，柔性机械臂必须用无穷维分布参数模型来描述，而实际上对分布参数系统的控制又往往只能基于有限维模型来设计，为建立有效的低阶有限维近似动力学模型，以实现通过有限的关节驱动装置进行运动控制，目前，对结构弹性变形进行空间离散化的标准方法有：有限元法、有限模态展开法、以及集中质量法。其动力学建模方法主要是基于两类基本方法：矢量力学法和分析力学，一般采用Lagrange方法、Newton-Euler方法、Hamilton原理、虚位移原理和Kane方程进行建模。以上描述复杂弹性系统与空间离散化方法的组合就是建立弹性机械手臂有限维近似动力学方程的有效手段。

目前，虽然上述建模理论在形式上逐渐趋于固定，但在柔性体变形位移函数的假设和位移离散的处理上仍存在着一定的随意性，这也是上述建模理论存在不足的原因之一。有关机器人弹性动力学(KED)的研究虽然已很广泛，但比较成熟的只限于平面的情况，Smaili和Turcic的研究有一定的代表性，其主要研究是寻找KED分析研究的简化方法和致力于高精度的分析模型，为机器人KED分析奠定了基础。相比较而言，关于弹性空间机器人方而的文献远远少于弹性平而机器人方面，这是因为，空间机器人的结构复杂，故其动力学建模与方程都要比平面机器人复杂得多；同时，还要不可避免地求解大型微分方程，在计算中会有困难。这些因素在很大程度上限制了弹性空间机器人研究的发展。有关串联型机器人的KED研究，Sunda和Dubowsky的研究是比较成功的，他们运用有限元分析法系统地研究了T3R3机器人的KED问题，至于有关并联型（带闭链）机器人的KED研究，因其结构要比串联机器人复杂，其弹性动力学分析也更加困难，目前这一领域的文献极少，且没有连续性。西南交通大学的姚建新等将计算机符号－数值技术引入并联型机器人的KED研究中，在对基于符号－数值技术的机器人动力学研究的基础上，将其与有限元分析结合起来，在计算机上进行符号推导，建立了标准形式的机器人KED方程，并以一个带闭链的五自由度点焊工业机器人为例，进行了KED分析。北京工业大学的梁浩等针对ANSYS和ADAMS的特点，首次将ADAMS及ANSYS结合，建立了柔性机器人动力学仿真系统。他们通过模态中性文件结合ADAMS及ANSYS，按功能将此系统分成模块进行一次开发，省去复杂的建模及编程工作。在此基础上，他们建立了两个三臂机器人协调操作的算例，运用ANSYS进行有限元分析，提取机械臂的模态，并将结果转换成ADAMS可以识别的模态中性文件(Modal Neutral File)，再运用ADAMS进行动力学分析。

从迄今已发表的文章可以看出，机器人机构的弹性动力学研究大致可分为两类：

1.运用有限元理论，将各构件简化成梁单元或板单元，忽略关节弹性的影响，或把关节处传动系统简化成一个关节刚度计入整体刚度矩阵，从而建立机器人弹性动力学方程。

2.除传动系统外的构件均作为刚体，只建立各传动系统的弹性动力学方程。由上所述可知：当前的运动建模理论和方法，都进行了如下简化： 1.线性化、刚性化和集中质量法；

2.简化机器人系统各部件截面形状，忽略复杂材质特性的影响，将机器人复杂的结构抽象成一个用铰链进行单纯连接的简单刚性骨架；

3.简化运动关系，忽略机器人俯仰、横滚和偏航等方向运动的耦合。

这些简化和抽象有利于凸现运动特性中的主要问题，获得机器人控制的普遍规律，建立通用的、经过必要线性化后就能进行显式求解并运用到运动规划和控制中的数学模型，这对机器人的初期研究是必要的，也是一种重要且有效的研究方法。

4.常用动力学研究方法简介

目前，研究机器人动力学的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛顿－欧拉(Newton-Euler)方法、高斯(Gau)方法、凯恩(Kane)方法、罗伯逊－魏登堡法、旋量方法等。其中以牛顿－欧拉法和拉格朗日法运用较多，本文采用牛顿－欧拉方法对机器人进行动力学分析。随着动力学分析方法的不断发展和计算机技术水平的提高，到目前为止，分析机械零、部件动力学问题的有限元方法和商品化软件也已相当完善。

4.1 拉格朗日（Lagrange）方法

Lagrange方法是典型的分析力学方法，它把整个系统看作统一的对象，并用统一的方法加以研究，采用整个物理学中所共有的物理量（能量和功）作为力学本身的基本物理量，并以此为根据，建立运动的基本方程。这种表述广泛采用广义坐标（及其共轭变量—广义动量）来描述系统的运动状态。其代表人物有M.A.chace和E.J.Haug等。一般来说，根据Lagrange方程建模的步骤是

1）选定广义坐标，建立有限维模型，一般选择关节变量和柔性连杆的模态坐标为广义坐标； 2）建立动能、势能表达式；

3）对Lagrange方程进行必要的推导和整理． 柔性机械手的一般动力学方程可以写成如下形式

CKQM

式中：M为系统的质量矩阵；C为系统的阻尼矩阵；K为系统的刚度矩阵；Q为系统的广义力阵列。设机械系统有n个自由度，它的n个独立的广义坐标为θ。拉格朗日方程如下： dLLidtiii1,2,n

式中L=T-V称为拉格朗日函数，i为广义坐标列向量

拉格朗日方程经过整理计算，可以得到如下形式：

Mij()jj1nV()()ijkjkij,k1i，n式中V()为势能函数。可以改写为：

C(,)N(,)M()

式中为驱动力矩矢量，N(,)包括重力和作用于关节的其他力。上式是描述机器人运动的二阶矢量微分方程，它是关节力矩的函数。

4.2 凯恩（Kane）方法和虚功原理

Kane方程描述为，对应于每一个广义速率的广义主动力与广义惯性力之和等于零．即

FiFi'0(l1,,6n)式中F和

Fi'分别为系统的广义主动力和广义惯性力，它们分别定义为

FiVZM(l1,,6n)yiyi VZ'M'(l1,,6n)yiyi Fi'式中Z和Z'分别为作用于系统上的主动力系和惯性力主矢；M和M'分别为上述力系向质心简化的主矩；V为物体质心的速度；为物体转动的角速度。

其代表人物有Kane、Huston．Kane方法采用相对能量的形式，从约束质点系的D'Alembert原理出发，将各体的主动力（矩）和惯性力（矩）乘以偏速度、偏角速度矢量，再对整个系统求和，系统自由度数目相同的方程组．其特点是可消除方程中的内力项，避免繁琐的微分运算，使推导过程较为系统化．虚功原理与Kane方法类似。在Kane方法中颇具特色的当推Kane-Huston方法，此法采用低序体阵列描述系统的拓扑结构．张大钧、蒋铁英等人均用此法建立了柔性体动力学模型．薛克宗、赵平利用虚功原理建立了柔性多体系统的微分方程，利用基尔算法对方程组进行求解．边宇枢用Kane方程和假设模态的方法对系统进行建模。

4.3 旋转代数法

旋转代数（the algebra of rotation）是一种新的运动学标记方法．采用不变量和向量形式来描述刚体的转动，将旋转代数用于机器人运动学，具有3个基本特征：描述刚性连杆转动的唯一性，描述一组刚性连杆运动的一致性以及描述刚性连杆末端运动的简洁性。因此，利用旋转代数法来研究柔性机械手的动力学建模问题不啻为一种切实可行的方法。Xi和Fenton引入旋转算子（rotational operator）

zrcosr[(1cos)(zr)]sin(zr)

式中：z为关节转轴单位向量；为绕轴的转角；r为空间任何一点到刚性连杆上一点的向量．这样对于柔性机械手的方位，可以用两个向量来表示，一个向量代表机械手末端的转动，另一个代表位移，这两个向量本身又可进一步分解为刚性部分和柔性部分，从而最终得到描述对应刚性机械手方位的位移方程和柔性机械手相对于其刚性模拟机械手的末端偏移方程。

利用旋转代数法可以导出柔性机械手末端关节变量和连杆挠度之间映射关系的Jacobi矩阵，因而更容易分析系统的运动学和动力学特性，便于实施必要的控制策略。

可以看到，旋转代数法与刚性机械手建模过程中广泛应用的齐次变换法非常相似，因此，如果我们将柔性体的运动也分解为刚性运动和围绕刚性运动所做的相对弹性运动两部分，那么同样有可能应用齐次变换的方法来建立柔性机械手的动力学模型。

4.4 牛顿－欧拉（Newton-Euler）方法

Newton-Euler方法简称N-E方法，是矢量力学的一种方法，应用质心动量定理和动量矩定理列出隔离的单个物体的动力学方程，方程中包含理想约束力（矩），然后以约束条件为依据消去约束力（矩）。在动力学方程中出现了相临体间的内力项，其物理意义明确，并且表达了系统完整的受力关系，易于形成递推形式的动力学方程．目前该方法是动力学分析中用于实时控制的主要手段．Eric H K和Cedric K M Lee曾利用N-E方法对柔性连杆进行建模时，首先假定：

1）柔性连杆的变形和连杆的长度比较起来非常小；

2）假设柔性连杆是具有均匀截面和稳定性质的Euler-bernoulli梁； 3）梁的转动惯量和剪切变形忽略不计； 4）空气阻力和梁的内阻力忽略不计．

由理论力学可知，动力学普遍定理有三个：动量定理、动量矩定理、动能定理应用动力学普遍定理来建立机器人动力学方程的方法，是对每个刚体应用由动量定得出的质心运动定理，以及相对于质心的动量矩定理来建立起刚体动态的变化与作力之间的关系，具体来讲，就是刚体与其质心一起的平动规律决定于刚体上作用力主矢，而刚体相对于质心的转动规律决定于刚体作用力对质心的主矩。应用牛顿－欧拉方程来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动用牛顿方程，相对于质的转动用欧拉方程。在所有动力学分析方法中，牛顿－欧拉法是最常用的方法之一，它能够把力(力矩)作为位置、速度和加速度的函数精确而迅速的计算出来，满足伺服统的速率和采样频率，实现实时计算。

用牛顿—欧拉方程分别建立各个单个刚体动力学方程的方法来建立系统的动力学方程。为此取每个刚体Bi为研究对象进行受力分析。系统中所有铰链、弹簧、阻尼器和驱动器的质量可忽略不计，必要时附加在所联系的刚体上，不单独考虑。作用于刚体的力有重力、铰链约束力，有时还要考虑摩擦力。

将所有作用于刚体Bi上的主动力和约束反力分别向质心Ci简化，得到主动力主矢Fai和主矩Lai，以及约束反力FCi和主矩LCi。于是每个刚体的牛顿—欧拉方程动力学方程为：

aCmivcFiFifcCiicIiLaiLinI

4.5 共性问题

柔性体的动力学建模无论采用何种方法，主要有以下共性的3个关键性的问题：

1）参考坐标系的选择．参考坐标系的选择可以分为3类：浮动坐标系方法、随转坐标系法和惯性坐标系法．浮动坐标系方法是将多刚体动力学与结构动力学相结合的一种方法，这种方法使多刚体动力学软件扩展应用于柔性体系统成为可能，是目前应用最为广泛的一种方法．随转坐标系方法源于计算结构力学，随转坐标系随柔性体内部的每个单独的有限元的平均刚体运动而运动，这种方法被用于大位移、大转角和小应变结构的建模．惯性坐标系方法源于大变形非线性有限元和连续体力学原理，不再区分物体的刚性运动和变形，采用一致质量有限元对柔性体进行离散。

2）柔性体变形模式的选择。柔性体具有无限自由度，其变形的描述是柔性臂系统建模与控制的基础，因此，选择好的描述方式，就能用较少的自由度得到较精确的结果。常用的有4种方法：有限元法、有限段法、模态综合法、集中质量法。有限元法实质上就是把无限个自由度的连续体理想化为有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值分析的结构型问题，以节点的弹性位移作为广义坐标，在节点之间建立起关于节点广义坐标的弹性位移场或形函数，并以此假设导出单元的动力学方程，进一步把单元的动力学方程装配成系统的动力学方程。其特点是采用柔性单元、刚性节点、载荷向节点移置、刚度及阻尼特性由单元表征。有限段法适合于含有细长零件的系统，将细长件分为有限刚性段，将柔性引入到系统的各结点中，即把柔性系统描述为多个刚体，以含有弹簧和阻尼器的节点相连。模态综合法通过求解自由振动的特征值得到动态模态，利用模态截断技术，采用系统中各个子结构的模态，综合的出系统的整个模态。集中质量法用若干离散节点上的集中质量代替原来系统中的分布质量，即全部质量都集中到各个节点上，形成集中质量和集中转动惯量，在这些集中质量之间用无质量的弹性元件连接，用这些点处的有限个自由度代替了连续体的无限个自由度。

3）约束问题。实际上就是如何处理好约束条件的问题，当系统运动时，必须满足约束条件。对于系统约束，Lagrange方法通过未定乘子将系统约束和约束反力结合在一起，既描述了约束的运动限定作用也揭示了约束的力学特性。但该方法增加了系统动力学方程数目。Newton-Euler方法以力的模式来解决，这不便于对受约束系统的研究。而Kane方程利用待定乘子解决约束问题并应用正交矩阵减少系统动力学方程的数目。

所以上述方程的建立方法，也主要是这几个方面的采用的方法不同。

4.6 不同之处

1）Lagrange方程最大的特点是推导繁琐，如柔性臂无穷维分布参数模型的描述和简化问题，采用的数学方法不同，力学原理不同，得到的模型就有很大不同，和实际系统的误差大小也就不同。但同时在应用过程中它的优点是编制程序方便.它可以很方便地采用C、Fortran、Pascal等高级语言编写符号演算程序；也可以应用通用的商业软件如Ansys、Adams等直接进行通用符号的软件运算。

2）Newton-Euler方法由于所导出的动力学方程中含有大量的相邻体不需要的未知理想约束反力，随之产生的一个主要问题是如何自动消除约束反力/力矩。因此限制了它的应用。

3）Kane方法形式简洁，避开了动力学函数的微分运算，而且可自动消除系统内不做功的内力，可方便地实现动力学方程的计算机符号推导与编程。兼有矢量力学和分析力学的的优点，但是它不直观。结论

综述了柔性机器人动力学分析的研究现状, 对Lagrange法，有限元法、变Newton-Euler方法、Kane方法等方法进行了详细阐述和比较。柔性机器人的动力学属机械科学的前沿领域,它涉及了机器人学、机械动力学等多个学科。为柔性机器人的控制和优化设计提供科学基础，是提高分析模型的可靠性与工程应用的可实现性的基础。目前, 该领域的研究大多停留于仅含单、双柔性连杆的简单模型情况, 在稳定性分析、精度估计及实时性等方面尚有许多问题有待解决。

参考文献

[1] [2] [3] [4] 赵锡芳等.机器人动力学[M].上海:上海交通大学出版社，1992.黄文虎，邵成勋.多柔体系统动力学[M].北京:科学出版社，1996 Tureie D A,Midha A.Dynamie analysis of elastic mechanism system, PartI: applieations ASME.J.of Dynamic

Systems ,Measurements and control.1984(106):243-248.LinkinsPW.Finite element appendage equations for hybrid 1972(8)coordinate dynamic analysis.Journal of Solids&Struetures:709-731.[5] [6] [7] [8] [9] [10] RyanRR.Dynamies of flexible beam sunder going large overall motions.Ameriean Astronomical Soeiety.1987，PP.87-437.ChenC,ShabanaI’eaetion for CesAA,In Rismantab-SanyJ.Generalized eons train and joint the inverse dynamites of spatial flexible mechanical system.Journal of Mechanical Design.1994(116):777-784.陆佑方等.柔性多体系统动力学[M].北京:高等教育出版社，1996.管贻生, 安永辰.机器人手臂弹性动力学分析的 Kane方法[J].机器人, 1992, 14(1):(45)51.BaeDS,HaugEJ.Areeursiveformulationforeonstrainedmaehinesystemdynamies:Partl:oPenlooPsystems.MeehStruet&Maeh.Vol.15，No.3,(1987),pp.359-382 杜兆才,余跃庆,张绪平.平面柔性并联机器人动力学建模[J].机械工程学报，2007,43(9):96-101.DuZhao-cai,YuYue-qing,Zhang Xu-ping.Dynamic modeling of planar flexible manipulators [J]．Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2007, 43(9): 96-101．

[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] 刘善增.三自由度空间柔性并联机器人动力学研究[D]． 北京: 北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，2009． 张清华,张宪民.平面3-RRR 和3-PRR 柔性并联机器人弹性动力学分析[J].华南理工大学学报,2012，40(11):52-57.Gaultier P.E., Cleghorn W.L.Modeling of flexible manipulator dynamics: a literature survey [C]First Conference of National Applied Mechanism and Robot, 1989,Cincinnati, OH.Cincinnati: ASME, 1989: 1-10.张宪民,袁剑锋.一种二维平动两自由度并联的机器人机构:中国, CN1903521 [P].2007-01-31.张策等.弹性连杆机构的分析与设计[M].北京:机械工业出版社,1989.夏富杰.空间并联机构运动分析的有限元法[J].机械科学与技术,1998, 17(1): 60-62.管贻生,安永辰.机器人手臂弹性动力学分析的方法[J].哈尔滨工业大学机械工程系,1982.SHAO Zhufeng,TANG Xiaoqiang,CHEN Xu.Inertia match of a 3-RRR reconfigurable planar parallel manipulator [J].Chinese J.of Mech.Engeneering, 2009, 22(6):791-799.邵珠峰, 唐晓强, 王立平.平面柔性 3-RRR 并联机构自标定方法[J].机械工程学报, 2009, 45(3): 150-155.胡俊峰.柔性机器人机构动力学分析及振动控制研究[D].华南理工大学.2010.邹慧君，高峰.现代机构学进展[M].北京：高等教育出版社，2007.4.ZHANG Xuping, James K M.Dynamic modeling and experimental validation of a 3-PRRparallel manipulator with flexible intermediate links [J].Intell Robot System, 2007, 50:323-340.Kane TR,Ryan RR,Banerjee AK.Dynamics of acanthi lever beam at tacked to a moving base.Journal of Guidanee,Control & Dynamies.Vol.10,No.2,(1987),pp.139-151.ZHANG Xuping, James K M, William L C.Coupling characteristics of rigid body motion and elastic deformation of a 3-PRR parallel manipulator [J].Multi body System Dynamic,2007.杜兆才，余跃庆，苏丽颖．动平台惯性参数对柔性并联机构动力学特性的影响及优化设计[J]．光学精密工程，2006，14(6)：1009-1016.罗磊，莫锦秋，王石刚，等.并联机构动力学建模和控制方法分析[J]．上海交通大学学报, 2005, 39(1)：75-78． 袁剑锋.新型少自由度并联机构运动学分析与控制[D].华南理工大学，2007.杨启志, 郭宗和, 马履中,等.三平移全柔性微动机器人机构的位置运动分析[J].农业机械学报, 2006, 37(11): 96～99.杨启志.新型全柔性多维微动并联机器人机构及其应用的研究[D].镇江: 江苏大学, 2006.Angeles J.Fundamentals of Robotic Mechanical Systems : Theory , Methods , and Algorithms [M].New York: Springer _Vertag, 2002, 213)439.边宇枢, 陆震.柔性机器人动力学建模的一种方法[J].北京航空航天大学学报, 1999, 25(4): 486)490.范春辉,何广平.三自由度冗余驱动平面并联机构的运动学分析[J].机械制造,2007 ,44(4):29-31.胡俊峰，张宪民． 两自由度高速并联机械手的弹性动力学分析［J］． 华南理工大学学报: 自然科学版，2009，37(11): 123-128．

杜兆才，余跃庆，张绪平． 平面柔性并联机器人动力学建模［J］． 机械工程学报，2007，43(9): 96-101． Hou W F，Zhang X M． Dynamic analysis of flexible linkage mechanisms under uniform temperature change ［J］．Journal of Sound and Vibration，2009，319: 570-592．

Piras G，Cleghorn W L，Mills J K． Dynamic finite element analysis of a planar high-speed，high-precision parallel manipulator with flexible links［J］． Mechanism and Machine Theory，2005，40(7): 849-862． [37] [38] [39] [40] [41] 刘善增． 三自由度空间柔性并联机器人动力学研究［D］． 北京: 北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，2009． Wang X Y，Mills J K． Dynamic modeling of a flexible-link planar parallel platform using a sub structuring approach［J］． Mechanism and Machine Theory，2006，41(6): 671-687．

Konno A, Uchiyama M.Modeling of a flexible manipulates or dynamics based on the Holzer’s method[J].Journal of Japan Robot Ins t itute,1994, 12(7): 1021-1028.马香峰.机器人机构学[M].北京: 机械工业出版社, 1991.管贻生, 安永辰.机器人手臂弹性动力学分析的 Kane方法.机器人, 1992, 14(1): 45~ 51.