选修课数学实验与建模matlab作业_matlab数学实验与建模

选修课数学实验与建模matlab作业由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“matlab数学实验与建模”。

实验一

一元函数微分学

实验1 一元函数的图形（基础实验）

实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想;掌握用Matlab作平面曲线图性的方法与技巧.初等函数的图形

1.1 作出函数ytanx和ycotx的图形观察其周期性和变化趋势.x=-2*pi:0.1:2*pi;y1=tan(x);y2=cot(x);plot(x,y1,x,y2);axis([-10,10,-10,10])1.2将函数ysinx,yx,yarcsinx的图形作在同一坐标系内, 观察直接函数和反函数的图形间的关系.x1=-2*pi:0.1:2*pi;y1=sin(x1);y2=x1;x2=-1:0.1:1;y3=asin(x2);plot(x1,y1,x1,y2,x2,y3);

axis([-5,5,-5,5])1.3给定函数

5x2x3x4 f(x)55x5x2(a)画出f(x)在区间[4,4]上的图形;x=-4:0.1:4;y=(5+x.^2+x.^3+x.^4)./(5+5*x+5*x.^2);plot(x,y);axis([-4,4,-4,4])(b)画出区间[4,4]上f(x)与sin(x)f(x)的图形.x=-4:0.1:4;y1=(5+x.^2+x.^3+x.^4)./(5+5*x+5*x.^2);y2=sin(x).*y1;

plot(x,y1,x,y2);axis([-4,4,-4,4])

1.4 在区间[1,1]画出函数ysinx=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)

1.5 作出以参数方程x2cost,ysint(0t2)所表示的曲线的图形.t=0:0.1:2*pi;x=2*cos(t);y=sin(t);plot(x,y,0,x,x,0)1.6分别作出星形线x2co3ts,y2si3tn(0t2)和摆线x2(tsint),1的图形.xy2(1cost)(0t4)的图形.程序1：t=0:0.1:2*pi;x=2*cos(t).^3;y=2*sin(t).^3;plot(x,y)程序2：t=0:0.1:4*pi;x=2*(t-sin(t));y=2*(1-cos(t));plot(x,y);axis([0,4*pi,0,5])x(t)costcos5t1.7 画出参数方程的图形：

y(t)sintcos3tt=-pi/2:0.01:pi/2;x=cos(t).*cos(5*t);y=sin(t).*cos(3*t);plot(x,y)1.8 作出极坐标方程为r2(1cost)的曲线的图形.t=-2*pi:0.1:2*pi;r=2*(1-cos(t));polar(t,r)

1.9

作出极坐标方程为ret/10的对数螺线的图形.t=-2*pi:0.1:2*pi;r=exp(t./10);polar(t,r)

1.10作出由方程x3y33xy所确定的隐函数的图形(笛卡儿叶形线).ezplot('x^3+y^3-3*x*y')

1.11 分别作出取整函数y[x]和函数yx[x]的图形.程序1：ezplot('y-fix(x)',[-5,5]);grid on;

程序2：ezplot('y-x+fix(x)',[-5,5]);

Grid on;

1.12 作出符号函数ysgnx的图形.ezplot('y-sign(x)',[-5,5]);grid on

12xsin,x01.13作出分段函数f(x)的图形.x0,x0

plot([-4:0],ones(length(-4:0))*(-1),'-',[0],ones(length(0))*0,[0:4],ones(length(0:4))*1)

axis([-5 5-2 2])

1.14 制作函数sincx的图形动画, 观察参数c对函数图形的影响.x=0:0.1:2*pi;for i=1:30;y=sin(i*x);plot(x,y);grid on;pause(0.1);end 1.15作出函数f(x)x2sincx的图形动画,观察参数c对函数图形的影响.x=-2*pi:0.1:2*pi;

for b=1:100;c=0.1*b;y=x.^2+sin(c*x);

plot(x,y);

temp=['c=',num2str(c)];

title(temp);

grid on;pause(0.1);end

实验2 极限与连续（基础实验）

实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解.掌握用 Matlab画散点图, 以及计算极限的方法.深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形

特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.作散点图

2.1 观察数列{nn}的前100项变化趋势.n=1:100;x=nthroot(n,n);stem(n,x)

12.2通过动画观察当n时数列an2的变化趋势.nfor n=1:inf an=1/n.^2;plot(n,an,’o’);grid on;hold on;end 2.3 设x12,xn12xn.从初值x12出发, 可以将数列一项一项地计算出来.format long,x=2^0.5;for i=1:10

x=(2+x).^0.5 end

x = 1.84775906502257 x = 1.96***6 x = 1.99036945334439 x = 1.99759091241034 x = 1.99939763739241 x = 1.99984940367829 x = 1.99996235056520 x = 1.99999058761915 x = 1.99999764690340 x = 1.99999941172576

2.4在区间[4,4]上作出函数f(x)究

xx39x的图形, 并研x3xlimf(x)和 limf(x).x1x=-4:0.1:4;y=(x.^3-9*x)./(x.^3-x);plot(x,y);

grid on;syms x;limit((x.^3-9*x)./(x.^3-x),x,inf)limit((x.^3-9*x)./(x.^3-x),x,1)

ans =1

ans =NaN 12.5观察函数f(x)2sinx当x时的变化趋x势.x=0:0.1;inf;y=1/x.^2.*sin(x);plot(x,y)1112.6设数列xn333.计算这个数列的12n前30项的近似值.作散点图, 观察点的变化趋势.sum=0;

for n=1:30

sum=sum+1/(n^3);

plot(n,sum,'o');

grid on;

hold on;end 13xn1.可以证明:这个数列的极限是3.计算这个数列的前

2xn130项的近似值.作散点图, 观察点的变化趋势.2.7定义数列x01,xn

tempn=1;

for n=1:29

tempn=(tempn+3/tempn)/2;

plot(n,tempn,'o');

grid on;

hold on;

end 2.8计算极限

11x2(1)limxsinsinx

(2)limx x0xexxtanxsinx

(4)limxx(3)lim3x0x0xlncotx

(6)limx2lnx(5)limx0x0lnx3x32x25sinxxcosx

(8)lim(7)limx5x32x1x0x2sinx

ee2xsinx1cosx

(10)lim(9)limx0xx0xsinx

syms x;(1)limit(x.*sin(1./x)+1./x*sin(x),x,0)=1(2)limit((x.^2)/exp(x),x,+inf)=0(3)limit((tan(x)-sin(x))./x.^3,x,0)=1/2(4)limit(x.^x,x,+0)=1(5)limit(log(cot(x))/log(x),x,+0)=-1(6)limit(x.^2*log(x),x,+0)=0(7)limit((sin(x)-x.*cos(x))/(x.^2.*sin(x)),x,0)=1/3(8)limit((3*x^3-2*x^2+5)/(5*x^3+2*x+1),x,0)=5(9)limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x)),x,0)=2(10)limit((sin(x)/x)^(1/(1-cos(x))),x,0)= 1/exp(1/3)

xx1实验3 导数（基础实验）

实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义.掌握用Matlab求导数与高 阶导数的方法.深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.导数概念与导数的几何意义 3.1作函数f(x)2x33x212x7的图形和在x1处的切线.syms x;diff(2*x^3+3*x^2-12*x+7)y=6*x^2+6*x-12;x=-4:0.1:4;y1=2*x.^3+3*x.^2-12*x+7;y2=-12*(x+1)+20;plot(x,y1,x,y2)

13.2求函数f(x)sinaxcosbx的一阶导数.并求f.absyms a b x;diff(sin(a*x)*cos(b*x))

function y=f1(x)syms a b real;y=cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b;

y=f1(1/(a+b))

ans = cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b

y = cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b 3.3求函数yx102(x10)9的1阶到11阶导数.syms x;for n=1:11;

diff(x^10+2*(x-9)^9,x,n)end

ans =

10*x^9+18*(x-9)^8 ans = 90*x^8+144*(x-9)^7 ans = 720*x^7+1008*(x-9)^6 ans = 5040*x^6+6048*(x-9)^5 ans = 30240*x^5+30240*(x-9)^4 ans = 151200*x^4+120960*(x-9)^3 ans = 604800*x^3+362880*(x-9)^2 ans = 1814400*x^2+725760*x-6531840 ans = 3628800*x+725760 ans = 3628800 ans = 0

3.求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数

3.4求由方程2x22xyy2x2y10确定的隐函数的导数.syms x y;f=2*x^2-2*x*y+y^2+x+2*y+1;dx=diff(f,x);dy=diff(f,y);dy_dx=-dx/dy

dy_dx =(-4*x+2*y-1)/(-2*x+2*y+2)3.5求由参数方程xetcost,yetsint确定的函数的导数.syms t;x=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);dy_dx=diff(y,t)/diff(x,t)

dy_dx =(exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t))/(exp(t)*cos(t)-exp(t)*sin(t))拉格朗日中值定理

3.6对函数f(x)x(x1)(x2),观察罗尔定理的几何意义.(1)画出yf(x)与f(x)的图形, 并求出x1与x2.(2)画出yf(x)及其在点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))处的切线.syms x;diff(x*(x-1)*(x-2))

solve('(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1)')

x=-2:0.1:4;y1=x.*(x-1).*(x-2);y2=(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1);plot(x,y1,x,y2)

x=0:0.1:2;y1=x.*(x-1).*(x-2);y2=0.3849+0*x;y3=-0.3849+0*x;plot(x,y1,x,y2,'-',x,y3,'-')axis([0 2-0.5 0.5])

ans =

[ 1+1/3*3^(1/2)] [ 1-1/3*3^(1/2)]

3.7 对函数f(x)ln(1x)在区间[0,4]上观察拉格朗日中值定理的几何意义.(1)画出yf(x)及其左、右端点连线的图形;f(4)f(0)(2)画出函数yf(x)的曲线图, 并求出使得

40f(4)f(0)f().40(3)画出yf(x),它在处的切线及它在左、右端点连线的图形.syms x;f=log(1+x);x=0:0.01:4;plot(x,eval(f));hold on;line([0,4],[0,eval(sym('log(5)'))],'color','r','linewidth',2);y=diff(f)-sym('log(5)')/4;ezplot(y);k=sym('log(5)')/4;X=solve(y);b=log(1+eval(X));plot(x,eval(k)*(x-eval(X))+b,'r');hold off;axis([0,4,0,1.7]);grid on;title('拉格朗日中值定理');gtext(['y=',char(f)]);gtext(['y=',char(y)]);

gtext(['切线']);3.8求下列函数的导数:(1)ye3x1x;

(2)yln[tan()];

24(1)syms x;

diff(exp((x+1)^(1/3)))

ans =1/3/(x+1)^(2/3)*exp((x+1)^(1/3))(2)syms x;

diff(log(tan(x/2+pi/4)))ans =(1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi)^2)/tan(1/2*x+1/4*pi)

3.9求下列函数的微分:(1)y2;

(2)yln(xx2a2).(1)syms x;

diff(2^(-1/cos(x)))

ans =-2^(-1/cos(x))/cos(x)^2*sin(x)*log(2)(2)syms x;

syms a real;

diff(log(x+(x^2+a^2)^0.5))

ans =(1+1/(x^2+a^2)^(1/2)*x)/(x+(x^2+a^2)^(1/2))

3.10求下列函数的一、二阶导数:(1)yln[f(x)];

(2)yf(ex)ef(x).ans= 1/f(x)*f’(x)

-1/(f(x))^2*f’’(x)

3.11求下列函数的高阶导数:(1)yxsinhx,求y(100);

(2)yx2cosx,求y(10);(1)

syms x;diff(x*sinh(x),100)ans =100*cosh(x)+x*sinh(x)(2)

syms x;diff(x^2*cos(x),10)ans =90*cos(x)-20*x*sin(x)-x^2*cos(x)

3.18求由下列方程所确定的隐函数yy(x)的导数:(1)lnxeyx1cosxe;

(2)arctanylnx2y2.x(1)

syms x y;f=log(x)+exp(-y/x)-exp(1);

fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);dy_dx=-fx/fy ans =-(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x)(2)

syms x y;f=atan(y/x)-log((x^2+y^2)^0.5);

fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);dy_dx=-fx/fy;simplify(dy_dx)ans =(y+x)/(x-y)

3.19求由下列参数方程确定的函数的导数:

6tx,31t3xcost,(1)

(2) 236tysint;y.1t3

(1)

syms t;x=diff(cos(t)^3,t);

y=diff(sin(t)^3,t);dy_dx=y/x

ans =-sin(t)/cos(t)(2)

syms t;x=diff(6*t/(1+t^3),t);y=diff(6*t^2/(1+t^3),t);

dy_dx=y/x;simplify(dy_dx)

ans =t*(-2+t^3)/(-1+2*t^3)

实验4 导数的应用（基础实验）

实验目的理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法.理解曲线 的曲率圆和曲率的概念.进一步熟悉和掌握用Matlab作平面图形的方法和技巧.掌握用 Matlab求方程的根(包括近似根)和求函数极值(包括近似极值)的方法.求函数的单调区间 4.1求函数yx32x1的单调区间.syms x;diff(x^3-2*x+1)solve('3*x^2-2')ans =3*x^2-2 ans =1/3*6^(1/2)

-1/3*6^(1/2)求函数的极值

x4.2求函数y的极值.1x2syms x;diff(x/(1+x^2))

solve('1/(1+x^2)-2*x^2/(1+x^2)^2')ans =1/(1+x^2)-2*x^2/(1+x^2)^2 ans =[ 1][-1]

求函数的凹凸区间和拐点

14.3 求函数y的凹凸区间和拐点.12x2syms x;diff(1/(1+2*x^2),2)

solve('32/(1+2*x^2)^3*x^2-4/(1+2*x^2)^2')

x=-1:0.1:1;y1=32./(1+2*x.^2).^3.*x.^2-4./(1+2*x.^2).^2;y2=0*x;plot(x,y1,x,y2,'-')ans = 32/(1+2*x^2)^3*x^2-4/(1+2*x^2)^2 ans = [ 1/6*6^(1/2)] [-1/6*6^(1/2)] 10

4.4 已知函数

16254x2x5x60x3150x2180x25, 22在区间[6,6]上画出函数f(x),f(x),f(x)的图形, 并找出所有的驻点和拐点.disp('输入函数（自变量为x）');f(x)syms x;f=input('函数f(x)=');df=diff(f);cdf=char(df);a=[];count=0;clf;if(strfind(cdf,'x'))

sf=solve(df);

ezplot(df);

gtext(['y''=',char(df)]);

disp(['y''=',char(df)]);

count=count+1;

legend('一阶导');

hold on;

for i=1:size(sf);

a(i)=sf(i);

end

a=sort(a);

if(numel(a)~=0&numel(a)~=1&numel(a)~=inf)

for i=1:numel(sf);

strstart='-inf';

strend='+inf';

if(i==1)

x=a(i)-1;

x0=Eval(df);

strend=num2str(a(i));if(x0

end

end

if(i==numel(sf))

x=a(i)+a(i-1);

x0=Eval(df);

x=a(i)+1;

x1=Eval(df);

strstart=num2str(a(i));

x=a(i);

y=Eval(f);

else if(i==1)

x=a(i)-1;

else

x=a(i)-a(i-1);11

end

x0=Eval(df);

x=(a(i)+a(i+1))/2;

x1=Eval(df);

strstart=num2str(a(i));

strend=num2str(a(i+1));

x=a(i);

y=Eval(f);

end

if(x1

if(x0>0)disp(['驻点：极大值','x=',num2str(a(i)),',y=',num2str(y)]);

end

else

disp(['单调增区间','[',strstart,',',strend,']']);

if(x0

end

ddf=diff(df);

cddf=char(ddf);

if(strfind(cddf,'x'))

f=solve(ddf);

ezplot(ddf);

gtext(['y''''=',char(ddf)]);

disp(['y''''=',char(ddf)]);

count=count+1;

b=[];

for i=1:size(f);

b(i)=f(i);

end

b=sort(b);

if(numel(b)~=0&numel(b)~=1&numel(b)~=inf)

for i=1:numel(f);

strstart='-inf';

strend='+inf';

end

end

end

if(i==1)

x=b(i)-1;

x0=Eval(ddf);

strend=num2str(b(i));

if(x0

disp(['单调凸区间','[',strstart,',',strend,']']);

disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]);

else

disp(['单调凹区间','[',strstart,',',strend,']']);

disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]);

end

end

if(i==numel(f))

x=b(i)+b(i-1);12

x0=Eval(ddf);

x=b(i)+1;

x1=Eval(ddf);

strstart=num2str(b(i));

else

if(i==1)

x=b(i)-1;

else

x=b(i)-b(i-1);

end

x0=Eval(ddf);

x=(b(i)+b(i+1))/2;

x1=Eval(ddf);

strstart=num2str(b(i));

strend=num2str(b(i+1));

end

if(x1

disp(['单调凸区间','[',strstart,',',strend,']']);

disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]);

else

disp(['单调凹区间','[',strstart,',',strend,']']);

disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]);

end

end

end

elseif(numel(b)==1)

disp(['拐点','x=',num2str(b(1))]);

end end if(~(min(a)==[]|max(a)==[]))

ezplot(f,[min(a)-1,max(a)+1]);else

ezplot(f);

gtext(['y=',char(f)]);

disp(['y=',char(f)]);

count=count+1;end switch count

case 3

legend('一阶导','二阶导','原函数');

case 2

legend('一阶导','原函数');

case 1

legend('原函数');end title('连续函数的性质');grid on;hold off;运行结果：输入函数（自变量为x）

函数f(x)=x^6/2-2*x^5-25*x^4/2+60*x^3-150*x^2-180*x-25 y'=3*x^5-10*x^4-50*x^3+180*x^2-300*x-180 单调增区间[-inf,-0.4591] 单调减区间[-0.4591,1.5529-1.8228i] 13

驻点：极大值x=-0.4591,y=19.7063 单调减区间[1.5529-1.8228i,1.5529+1.8228i] 驻点：极大值x=1.5529-1.8228i,y=-378.8847+558.3244i 单调增区间[1.5529+1.8228i,-4.4431] 驻点：极小值x=1.5529+1.8228i,y=-378.8847-558.3244i 单调减区间[-4.4431,5.1297] 驻点：极大值x=-4.4431,y=-5010.7825 单调增区间[5.1297,+inf] 驻点：极小值x=5.1297,y=-3445.4274 y''=15*x^4-40*x^3-150*x^2+360*x-300 单调凸区间[-inf,0.96967-0.77693i] 拐点x=0.96967-0.77693i 单调凸区间[0.96967-0.77693i,0.96967+0.77693i] 拐点x=0.96967-0.77693i 单调凸区间[0.96967+0.77693i,-3.2539] 拐点x=0.96967+0.77693i 单调凸区间[-3.2539,3.9812] 拐点x=-3.2539 单调凹区间[3.9812,+inf] 拐点x=3.9812 y=1/2*x^6-2*x^5-25/2*x^4+60*x^3-150*x^2-180*x-25

求极值的近似值 4.5求函数y2sin2(2x)5xxcos2的位于区间(0,)内的极值的近似值.22即得到函数y的两个极小值和极小值点.再转化成函数y的极大值和极大值点.两种方法的结

果是完全相同的.function y=f(x)y=2*sin(2*x)*sin(2*x)+5/2*x*cos(x/2)*cos(x/2);ezplot(y,[0,pi]);grid;x=fminbnd('f1(x)',0.5,2.5)f1(x)x=fminbnd('-f1(x)',0,pi)f1(x)x=fminbnd('-f1(x)',1.5,pi)f1(x)极小值点x = 1.6239

ans = 1.9446 极大值点x = 0.8642

ans = 3.7323 极大值点x = 2.2449

ans = 2.9571

项目二

一元函数积分学与空间图形的画法

实验1 一元函数积分学(基础实验)

实验目的掌握用Matlab计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察, 深入理解

定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用 定积分解决各种问题的能力.用定义计算定积分

当f(x)在[a,b]上连续时, 有

因此可将 babaf(x)dxlimnnbank0n1(ba)bafaklimnnnnakfk1n(ba) nk0n1(ba)bafak

与

nnakfk1(ba) n作为baf(x)dx的近似值.1.1 计算1sin0xxdx的近似值.fun=inline('sin(x)./x','x');y=quad(fun,0,1)y =0.9461 1.2 用定义求定积分示.bax2dx的动画演m=moviein(10)for a=1:10 for n=20:30 x=linspace(0,4,n+1);y=x.^2;for i=1:n

fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i)],[0,0,y(i),y(i)],'b')hold on end plot(x,y)m(:,a)=getframe;end movie(m,1,1)end

不定积分计算 1.3求x2(1x3)5dx.syms x;int(x^2*(1-x^3)^5)

ans =-1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^9-5/6*x^6+1/3*x^3 1.4求sinxdx.xsyms x;int(sin(x)*x)ans = sin(x)-x*cos(x)

定积分计算

1.5 求4010(xx2)dx.syms x;int(x-x^2,0,1)ans = 1/6 1.6 求|x2|dx.syms x;int(abs(x-2),0,4)ans = 4 变上限积分

1.7

画出变上限函数形.syms t;int(t*(sin(t))^2,0,x)

x=-2*pi:0.1:2*pi;y1=x.*(sin(x)).^2;y2=-1/2*x.*cos(x).*sin(x)+1/4*x.^2+1/4*sin(x).^2;plot(x,y1,x,y2)

求平面图形的面积 1.8 设f(x)e(x2)cosx和g(x)4cos(x2).计算区间[0,4]上两曲线所围成的平面的面

积.fun=inline('abs(exp(-((x-2).^2).*cos(pi*x))-4*cos(x-2))','x');y=quad(fun,0,4)

y = 6.4774 求平面曲线的弧长

1.9 f(x)sin(xxsinx),计算(0,f(0))与(2,f(2))两点间曲线的弧长.fun=inline('(1+(cos(x+sin(x)).*(1+cos(x))).^2).^0.5','x');y=quad(fun,0,2*pi)y = 7.9062 求旋转体的体积

1.10 求曲线g(x)xsin2x(0x)与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋 转体体积.fun=inline('pi*(x.*(sin(x).^2)).^2','x');y=quad(fun,0,pi)fun=inline('2*pi*x.^2.*(sin(x).^2)','x');y=quad(fun,0,pi)y =9.8629 y =27.5349 2x0tsint2dt及其导函数的图

实验2 空间图形的画法(基础实验)

实验目的掌握用Matlab绘制空间曲面和曲线的方法.熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力.深入理解二次曲面方程及其图形.一般二元函数作图

42.1作出函数z的图形.21xy2

a=10;step=0.5;x=-a:step:a;y=x;[x,y]=meshgrid(x);z=4./(1+x.^2+y.^2);mesh(x,y,z);

2.2 作出函数zxyex

a=5;step=0.3;x=-a:step:a;y=x;[x,y]=meshgrid(x);z=-x.*y.*exp(-(x.^2+y.^2));surf(x,y,z);

二次曲面 2y2的图形.x2y2z22.3作出椭球面1的图形.491(这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D.该曲面的参数方程为

syms u v;u=0:0.2:2*pi;[u,v]=meshgrid(u);x=2.*sin(u).*cos(v);y=3.*sin(u).*sin(v);z=cos(u);mesh(x,y,z)

x2y2z22.4作出单叶双曲面1的图形.(曲面的参数方程为

149xsecusinv,y2secucosv,z3tanu,(/2u/2,0v2.))

syms u v;u=-pi/2:0.2:pi/2;v=0:0.2:2*pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=sec(u).*sin(v);y=2.*sec(u).*cos(v);z=3*tan(u);mesh(x,y,z);axis([-10,10,-10,10,-10,10]);view(-7,60);x2y2z

22.5 作双叶双曲面1的图1.521.421.32形.(曲面的参数方程是

x1.5cotucosv,y1.4cotusinv,z1.3cscu, 其中参数0u2对应双叶双曲面的另一叶.)

syms u v;

u=0:0.2:pi/2;v=-pi:0.2:pi;,v时对应双叶双曲面的一叶, 参数2u0,v时[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z);hold on;u=-pi/2:0.2:0;v=-pi:0.2:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z);

hold off;2.6作出圆环

x(83cosv)cosu,y(83cosv)sinu,z7sinv,(0u3/2,/2v2)的图形.syms u v;

u=0:0.2:pi/2;v=-pi:0.2:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z);hold on;u=-pi/2:0.2:0;v=-pi:0.2:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z);

hold off;2.7 画出参数曲面

xcosusinvysinusinvzcosvln(tanv/2u/5)的图形.u=0:0.1:4*pi;v=0.001:0.1:2;[u,v]=meshgrid(u,v);x=cos(u).*sin(v);y=sin(u).*sin(v);z=cos(v)+log(tan(v/2)+u/5);surf(x,y,z)

u[0,4],v[0.001,2]

曲面相交 2.8作出球面x2y2z222和柱面(x1)2y21相交的图形.u=0:0.1:2*pi;v=0:0.1:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=2*cos(v).*sin(u);y=2*sin(v).*sin(u);z=2*cos(u);surf(x,y,z)hold on t=0:0.1:2*pi;c=0:0.1:2;[t,c]=meshgrid(t,c);a=1+cos(t);b=sin(t);surf(a,b,c)2.9作出锥面x2y2z2和柱面(x1)2y21相交的图形.u=0:0.1:2*pi;v=0:0.1:2;

[u,v]=meshgrid(u,v);x=cos(u).*v;y=sin(u).*v;

z=v;

surf(x,y,z)

hold on

t=0:0.1:2.1*pi;c=0:0.1:2;

[t,c]=meshgrid(t,c);a=1+cos(t);b=sin(t);

surf(a,b,c)2.10 画出以平面曲线ycosx为准线, 母线平行于Z轴的柱面的图形.（写出这一曲面的参数方程为

xtycost,t[,],sR zs取参数s的范围为[0, 8].）

t=-pi:0.1:pi;s=0:0.1:8;

[t,s]=meshgrid(t,s);x=t;y=cos(t);z=s;

surf(x,y,z)

空间曲线

xsint2.11绘制参数曲线 y2cost 的图形.zt/2t=-4*pi:0.1:4*pi;x=sin(t);y=2*cos(t);z=t/2;plot3(x,y,z,’r’)grid on

xcos2t12.12绘制参数曲线 y的图形.12tzarctantt=-2*pi:0.1:2*pi;x=(cos(t)).^2;y=1./(1+2*t);z=atan(t);plot3(x,y,z)grid on

动画制作

2.13用动画演示由曲线ysinz,z[0,]绕z轴旋转产生旋转曲面的过程.（该曲线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为x2y2sin2z, 其参数方程为

xsinzcosu,ysinzsinu,zz,(z[0,],u[0,2])）

m=moviein(10);

for i=1:10

u=0:0.1:pi/5*(i+0.2);

v=0:0.1:pi;

[u,v]=meshgrid(u,v);x=sin(v).*cos(u);y=sin(v).*sin(u);z=v;

mesh(x,y,z)

m(:,i)=getframe;

end

movie(m,1);

项目三

多元函数微积分

实验1 多元函数微分学（基础实验）

实验目的掌握利用Matlab计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元

函数极值和条件极值的方法.理解和掌握曲面的切平面的作法.通过作图和观察, 理解二元 函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.求多元函数的偏导数与全微分

zz2z2z，,.xyx2xysyms x y;z=sin(x*y)+cos(x*y)^2;zx=diff(z,x)

zy=diff(z,y)

zzxx=diff(z,x,2)zzxy=diff(zx,y)1.1设zsin(xy)cos2(xy),求

zx =cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*y zy =cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*x zzxx =-sin(x*y)*y^2+2*sin(x*y)^2*y^2-2*cos(x*y)^2*y^2 zzxy =-sin(x*y)*x*y+cos(x*y)+2*sin(x*y)^2*x*y-2*cos(x*y)^2*x*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)

uuvv1.2设xeuusinv,yeuucosv,求，,.xyxysyms x y u v;f1=exp(u)+u*sin(v)-x;

f2=exp(u)-u*cos(v)-y;

f1u=diff(f1,u);

f1v=diff(f1,v);

fx=diff(f1,x);f2u=diff(f2,u);f2v=diff(f2,v);fy=diff(f2,y);ux=-fx/f1u uy=-fy/f2u vx=-fx/f1v vy=-fy/f2v

ux =

1/(exp(u)+sin(v))uy = 1/(exp(u)-cos(v))vx = 1/u/cos(v)vy = 1/u/sin(v)微分学的几何应用

1.3 求出曲面z2x2y2在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形.[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5);z=2.*x.^2+y.^2;mesh(x,y,z)hold on [x,y]=meshgrid(-10:0.1:10);z=4*x+2*y-3;plot3(x,y,z)hold on line([41,-39],[21,-19],[-7,13])axis([-20 20-20 20-40 40])

41.4求曲面k(x,y)2在点xy211164，处的切平面方程, 并把曲面和它的4221切平面作在同一图形里.syms x y k;

df_dx=diff(4/(x^2+y^2+1),x)

df_dy=diff(4/(x^2+y^2+1),y)

a=linspace(-10,10,100);

b=a;

[a,b]=meshgrid(a,b);

c=4./(a.^2+b.^2+1);

d=-8/((1/4)^2+(1/2)^2+1)^2*(1/4);

e=-8/((1/4)^2+(1/2)^2+1)^2*(1/2);

f=d.*(a-1/4)+e.*(b-1/2)+64/21;

mesh(a,b,c);

hold on;

mesh(a,b,f);

axis([-10,10,-10,10,-2,5]);

多元函数的极值

1.5求f(x,y)x3y33x23y29x的极值.syms x y;f=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x;fx=diff(f,x)fy=diff(f,y)fxx=diff(fx,x)fxy=diff(fx,y)fyy=diff(fy,y)

1.6 求函数zx2y2在条件x2y2xy10下的极值.syms x y m;z=x^2+y^2;df_dy=diff(z,y);df_dx=diff(z,x);q=x^2+y^2+x+y-1;dq_dx=diff(q,x);dq_dy=diff(q,y);[x,y,m]=solve(df_dx+m*dq_dx,df_dy+m*dq_dy,q)

x =[-1+1/3*3^(1/2)][-1-1/3*3^(1/2)] y =[-1/2+1/2*3^(1/2)][-1/2-1/2*3^(1/2)] m =[-1/2+1/2*3^(1/2)][-1/2-1/2*3^(1/2)]

实验2 多元函数积分学（基础实验）

实验目的掌握用Matlab计算二重积分与三重积分的方法;深入理解曲线积分、曲面积分的 概念和计算方法.提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.计算重积分

2.1计算xydxdy, 其中D为由xy2,x2Dy, y2所围成的有界区域.syms x y;int(int(x*y^2,x,2-y,y^0.5),y,1,2)

ans =193/120 2.2计算(x2y2z)dxdydz, 其中由曲面z2x2y2与zx2y2围成.syms t r z;int(int(int((r^2+z)*r,z,r,(2-r^2)^0.5),r,0,1),t,0,2*pi)

ans =2.1211 重积分的应用

2.3 求由曲面fx,y1xy与gx,y2x2y2所围成的空间区域的体积.syms t r;int(int((3/2-r^2)*r,r,0,(3/2)^0.5),t,0,2*pi)ans =3.5343 2.4 在Oxz平面内有一个半径为2的圆, 它与z轴在原点O相切, 求它绕z轴旋转一周所得旋转体体积.syms x;int(4*pi*x*(4-(x-2)^2)^0.5,x,0,4)

ans =157.9137

计算曲线积分

2.5求 Lf(x,y,z)ds, 其中fx,y,z130x210y,积分路径为

L:xt,yt2,z3t2,0y2.(注意到,弧长微元dsxt2yt2zt2dt, 将曲线积分化为定积分)syms t;x=t;y=t^2;z=3*t^2;f=diff([x,y,z],t);fun=inline('((1+30*t.^2).^0.5+10*t.^2).*(1+40*t.^2).^0.5','t');quad(fun,0,2)

ans =348.9428 2.6求F.dr, 其中

LFxy6i3x(xy52)j,r(t)2costisintj,0t2.syms t;

x=cos(t);

y=sin(t);

int(x*y^6*(-2*sin(t))+3*x*(x*y^5+2)*cos(t),t,0,2*pi)

ans = 6*pi

计算曲面积分

2.7计算曲面积分得的有限部分.222z2(注意到,面积微元dS1zxydxdy, 投影曲线xy2x的极坐标方程为 (xyyzzx)dS, 其中为锥面zx2y2被柱面x2y22x所截

2将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.)

syms t r;

x=r*cos(t);24

r2cost,t2，y=r*sin(t);

z=r;

int(int((x*y+y*z+x*z)*r*2^0.5,r,0,2*cos(t)),t,-pi/2,pi/2)

ans = 6.0340 2.8计算曲面积分x3dydzy3dzdxz3dxdy, 其中为球面x2y2x2a2的外侧.syms t s r;syms a real;int(int(int(3*r^4*sin(s),r,0,a),s,0,pi),t,0,2*pi)

ans = 12/5*a^5*pi

实验3 最小二乘拟合（基础实验）

实验目的了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理.学会观察给定数表的散点图, 选择 恰当的曲线拟合该数表.最小二乘拟合原理 给定平面上的一组点

(xk,yk),k1,2,,n, 寻求一条曲线yf(x),使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合.最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.最小二乘拟合的原理是, 求f(x),使

[f(x)ykk1nk]2

达到最小.拟合时, 选取适当的拟合函数形式

f(x)c00(x)c11(x)cmm(x),其中0(x),1(x),,m(x)称为拟合函数的基底函数.为使取到极小值, 将f(x)的表达式 代入, 对变量ci求函数的偏导数, 令其等于零, 就得到由m1个方程组成的方程组, 从中 可解出ci(i0,1,2,,m).曲线拟合3.1 为研究某一化学反应过程中温度x(C)对产品得率y(%)的影响, 测得数据如下: x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 试求其拟合曲线.x=[100,110,120,130,140,150,160,170,180,190];

y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89];

a=polyfit(x,y,1)

z=polyval(a,x);

plot(x,y,'gp',x,z,'r');

a = 0.4830

-2.7394

即拟合曲线为：y=0.4830x-2.7394

3.2 给定平面上点的坐标如下表: x0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

y5.12345.30575.56875.93786.43377.09787.94939.025310.3627试求其拟合曲线.x=[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9];

y=[5.1234,5.3057,5.5687,5.9378,6.4337,7.0978,7.9493,9.0253,10.3627];

a=polyfit(x,y,3)

z=polyval(a,x);

plot(x,y,'bp',x,z,'r');

a = 4.9875

0.6902

1.3202

4.9774

即拟合曲线为：y=4.9875x^3+0.6902x^2+1.3202x+4.9774

项目四 无穷级数与微分方程

实验1 无穷级数（基础实验）

实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近.掌握用Matlab求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法.数项级数

1.1(1)观察级数

x=0;

for n=1:50;

x=x+1/n^2;

plot(n,x,’r*’)

hold on

end

(2)观察级数势.nn112的部分和序列的变化趋势.n的部分和序列的变化趋n11

x=0;

for n=1:100;

x=x+1/n;

plot(n,x,’r*’)

hold on

end 10n1.2 设an, 求n!an1n.s=10;

for i=1:inf;

s=s+s*10/(i+1);

end

s =5.2257e+086

求幂级数的收敛域

1.3 求n042n(x3)n的收敛域与和函数.n

1syms n x k;

limit(4^(2*n)/(n+1)/(4^(2*n+2)/(n+2)),n,inf)%|x-3|

s=symsum(4^(2*n)*(x-3)^n/(n+1),n,0,inf)%-1/(x-3)*(x-3+1/16*log(49-16*x))

ans = 1/16 收敛域是[-1/16,1/16]

s =-log(49-16*x)/(16*x-48)

函数的幂级数展开

1.4 求cosx的6阶麦克劳林展开式.syms x;taylor(cos(x),7)

ans =1-1/2*x^2+1/24*x^4-1/720*x^6 1.5求arctanx的5阶泰勒展开式.syms x;taylor(atan(x))

ans =x-1/3*x^3+1/5*x^5 x12x1

21.6 求e在x1处的8阶泰勒展开, 并通过作图比较函数和它的近似多

syms x;

t=taylor(exp(-(x-1)^2*(x+1)^2),9,1)

ezplot(t);

hold on;x1=-10:0.01:10;y=exp(-(x1-1).^2.*(x1+1).^2);plot(x1,y,'r');

axis([0,2,-1,1]);ans=1-4*(x-1)^2-4*(x-1)^3+ 7*(x-1)^4+16*(x-1)^5+ 4/3*(x-1)^6-28*(x-1)^7-173/6*(x-1)^8 实验2 微分方程（基础实验）

实验目的理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Matlab求微分方程及方程组解的常用命令和方法.求解微分方程

2.1求微分方程 y2xyxex的通解.y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')

y =(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)2.2求微分方程xyyex0在初始条件yx122e下的特解.y=dsolve('x*Dy+y=exp(x)','y(1)=2*exp(1)','x')

y =(exp(x)+exp(1))/x 27

2.3求解微分方程y2xex, 并作出其积分曲线.y=dsolve('D2y-2*x=exp(x)','x')

x=-2:0.1:2;y=1./3*x.^3+exp(x)+x+1;plot(x,y)dxtdtx2ye2.4求微分方程组在初始条件dyxy0dtxt01,yt00下的特解.[x y]=dsolve('Dx+x+2*y-exp(t)','Dy-x-y','x(0)=1','y(0)=0','t')

x =cos(t)

y =1/2*sin(t)-1/2*cos(t)+1/2*exp(t)

2.5求出初值问题

22yysinxycosx y(0)1,y(0)0的数值解, 并作出数值解的图形.function dy=ffer(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-y(2)*(sin(x))^2-y(1)+(cos(x))^2;

[X,Y]=ode23s('ffer',[0 4],[1 0])plot(X,Y(:,1),'-')

2.6洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味.试求解洛伦兹方程组

x(t)16y(t)16x(t)y(t)x(t)z(t)45x(t)y(t), z(t)x(t)y(t)4z(t)x(0)12,y(0)4,z(0)0并画出解曲线的图形.function dy=lorenz(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=16*y(2)-16*y(1);dy(2)=-y(1)*y(3)+45*y(1)-y(2);dy(3)=y(1)*y(2)-4*y(3);

[T,Y]=ode45('lorenz',[0 0.1],[12 4 0])plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')

项目五

矩阵运算与方程组求解

实验1 行列式与矩阵

实验目的掌握矩阵的输入方法.掌握利用Matlab对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.矩阵A的转置函数Transpose[A] 131.1 求矩阵51

A'

ans = 7242的转置.6314

A=[1 7 2;3 4 2;5 6 3;1 1 4];矩阵线性运算 1.1 设A345427,B192,求AB,4B2A.426A=[3 4 5;4 2 6];

B=[4 2 7;1 9 2];

A+B

4*B-2*A

ans =ans =

0

-4 矩阵的乘法运算

42711.3 设A192,B0,求AB与BTA,并求A3.0351A=[4 2 7;1 9 2;0 3 5];B=[1 0 1]';A*B B'*A A^3 ans =11ans =ans =

119

660

555

141

932

444

477

260 1113211.4设A111,B041,求3AB2A及ATB.123124A=[-1 1 1;1-1 1;1 2 3];B=[3 2 1;0 4 1;-1 2-4];

3*A*B-2*A A'*B ans =

-33 ans =

0

-10 求方阵的逆

251.5设A03132233,求A1.146215A=[2 1 3 2;5 2 3 3;0 1 4 6;3 2 1 5];inv(A)ans =

-1.7500

1.3125

0.5000

-0.6875

5.5000

-3.6250

-2.0000

2.3750

0.5000

-0.1250

-0.0000

-0.1250

-1.2500

0.6875

0.5000

-0.3125 3x2yz7,1.6 解方程组xy3z6,2x4y4z2.a=[3 2 1;1-1 3;2 4-4];b=[7 6-2]';x=ab

x =

1.0000

1.0000

2.0000 求方阵的行列式

1x121.7 计算范德蒙行列式x13x14x11x22x23x24x21x32x33x34x31x42x43x44x41x52.x53x54x5syms x1 x2 x3 x4 x5 A=[1,1,1,1,1;x1,x2,x3,x4,x5;x1^2,x2^2,x3^2,x4^2,x5^2;x1^3,x2^3,x3^3,x4^3,x5^3;x1^4,x2^4,x3^4,x4^4,x5^4];a=det(A);a=simple(a)a=(-x4+x3)*(x5-x4)*(x5-x3)*(x2-x4)*(x2-x3)*(x2-x5)*(-x4+x1)*(x1-x3)*(x1-x5)*(x1-x2)

371.8 设矩阵 A1125792462403, 求|A|,tr(A),A3.76569783790A=[3 7 2 6-4;7 9 4 2 0;11 5-6 9 3;2 7-8 3 7;5 7 9 0-6];det(A)A' A^3

ans =

11592 ans =

0

0

-6 ans =

726

2062

944

294

-358

1848

3150

1516

228

1713

2218

1006

404

1743

984

-451

1222

384

801

2666

477

745

-125 向量的内积

1.9求向量u{1,2,3}与v{1,1,0}的内积.u=[1 2 3];v=[1-1 0]';

u*v

ans =-1 实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组

实验目的学习利用Matlab求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换;求向量组的秩与极大无关组.求矩阵的秩

321322.1 设M21313, 求矩阵M的秩.70518m=[3 2-1-3-2;2-1 3 1-3;7 0 5-1-8];rank(m)ans =2 32132.2 已知矩阵M2131的秩等于2, 求常数t的值.70t1syms t;M=[3 2-1-3 1;2-1 3 1 1;7 0 t-1 1] m=rref(M)

%分母为t-5，将5代入M M=[3 2-1-3 1;2-1 3 1 1;7 0 5-1 1];refm=rref(M)%所以t=5 解得 t=5 矩阵的初等行变换

22382.4 设A212212,求矩阵A的秩.1314A=[2-3 8 2;2 12-2 12;1 3 1 4];rank(A)ans =2 向量组的秩

2.5 求向量组1(1,2,1,1),3(0,4,5,2),2(2,0,3,0)的秩.a1=[1 2-1 1];a2=[0-4 5-2];a3=[2 0 3 0];rank([a1;a2;a3])

ans = 2

向量组的极大无关组 2.6求向量组

1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),4(1,1,2,0),5(2,1,5,0)的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.33

a1=[1-1 2 4];a2=[0 3 1 2];a3=[3 0 7 14];a4=[1-1 2 0];a5=[2 1 5 0];rank([a1;a2;a3;a4;a5])rank([a1;a2;a3])rank([a1;a3;a4])rank([a1;a2;a4])ans = 3 ans = 2 ans = 3 ans = 3 向量组的等价 2.7设向量

1(2,1,1,3),2(3,2,1,2),1(5,8,5,12),2(4,5,3,7),求证:向量组1,2与1,2等价.a1=[2 1-1 3];a2=[3-2 1-2];b1=[-5 8-5 12];b2=[4-5 3-7];rank([a1;a2;b1;b2])rank([a1;a2])rank([b1;b2])rref([a1;a2])rref([b1;b2])ans =2 ans =2 ans =2 ans =

1.0000

0

-0.1429

0.5714

0

1.0000

-0.7143

1.8571 ans =

1.0000

0

-0.1429

0.5714

0

1.0000

-0.7143

1.8571 实验3 线性方程组

实验目的 熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica命令各类求线性方程 组的解.理解计算机求解的实用意义.x1x22x3x40,3xxx32x40,3.1求解线性方程组12

5x7x3x0,2342x13x25x3x40.a=[1 1-2-1;3-1-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1];b=[0 0 0 0]';x=ab

ans =3.2向量组1(1,1,2,3),2(1,1,1,1),3(1,3,4,5),4(3,1,5,7)是否线性相关? a1=[1 1 2 3];a2=[1-1 1 1];a3=[1 3 4 5];a4=[3 1 5 7];rank([a1;a2;a3;a4])

ans =

线形无关

非齐次线性方程组的特解

x1x22x3x443x2x2x32x423.3求线性方程组15x27x33x422x13x25x3x44 的特解.A=[1 1-2-1;3-2-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1];B=[4;2;2;4];C=[1 1-2-1 4;3-2-1 2 2;0 5 7 3 2;2-3-5-1 4];

% C为增广矩阵% rref(C)

ans =

1.0000

0

0

0.6667

1.0000

0

1.0000

0

-0.3333

1.0000

0

0

1.0000

0.6667

-1.0000

0

0

0

0

0 由结果可以看出x4为自由未知量，方程组得解为： x1=-0.6667x4+1.0000 x2=0.3333 x4+ 1.0000 x3=-0.6667x4-1.0000 x1x22x3x443x2x2x32x423.4求线性方程组15x27x33x422x13x25x3x44B=[4;2;2;4];的特解.A=[1 1-2-1;3-2-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1];C=[1 1-2-1 4;3-2-1 2 2;0 5 7 3 2;2-3-5-1 4];

% C为增广矩阵% rref(C)

ans =

1.0000

0

0

0.6667

0

0

1.0000

0

-0.3333

0

0

0

1.0000

0.6667

0

0

0

0

0

1.0000 由结果可知，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩不相等，故方程组无解。

3.5求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式ax2bxc,并画出其图形.A=[0 0 1;1 1 1;4 2 1];B=[7 6 9]';abc=inv(A)*B

ezplot('2*x^2-3*x+7')abc =

3.6求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足f(1)20,f(1)9的4次多项式f(x).A=[0 0 0 0 1;1 1 1 1 1;1-1 1-1 1;-4 3-2 1 0;4 3 2 1 0];B=[0 1 3 20 9]';abcde=inv(A)*B

abcde =

-4.7500

7.7500

6.7500

-8.7500

0 非齐次线性方程组的通解

x1x22x3x412xx2x32x433.7解方程组1x1x3x423x1x23x45a=[1-1 2 1;2-1 1 2;1 0-1 1;3-1 0 3];b=[1;3;2;5];rref([a b])

ans =

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

由结果可以看出x3,x4为自由未知量，方程组得解为：

x1=2+x3-x4;x2=1+3*x3;ax1x2x313.8当a为何值时,方程组x1ax2x31无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有

xxax1231解时,求通解.syms a;A=[a 1 1;1 a 1;1 1 a];Ab=[a 1 1 1;1 a 1 1;1 1 a 1];b=[1 1 1]';rref(A)%A的秩为3，rref(Ab)%增广矩阵的秩为3，所以a不等于-2时，方程组都有解，且只有唯一解 Ab1=[-2 1 1 1;1-2 1 1;1 1-2 1];rref(Ab1)%a=-2时,A的秩为2，增广矩阵的秩为3，无解 x=inv(A)*b %x即为a不等于-2时方程组的解

项目六

矩阵的特征值与特征向量

实验1 求矩阵的特征值与特征向量

实验目的学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.求方阵的特征值与特征向量.1021.1求矩阵A121.的特征值与特值向量.130A=[-1 0 2;1 2-1;1 3 0];[V D]=eig(A,'nobalance')V =

1.0000

1.00000.0000i

0.0000

1.00000.0000i

1231.2 求方阵M213的特征值和特征向量.336M=[1 2 3;2 1 3;3 3 6];[V D]=eig(M,'nobalance')V =

0.7071

0.5774

0.4082

-0.7071

0.5774

0.4082

0

-0.5774

0.8165 D =

-1.0000

0

0

0

-0.0000

0

0

0

9.0000 3001.3已知2是方阵A1t3的特征值,求t.123syms t;A=[3 0 0;1 t 3;1 2 3];E=eig(A)solve(1/2*t+3/2-1/2*(t^2-6*t+33)^(1/2)-2)E = 1/2*t+3/2+1/2*(t^2-6*t+33)^(1/2)1/2*t+3/2-1/2*(t^2-6*t+33)^(1/2)ans = 8 2121.4 已知x(1,1,1)是方阵A5a3的一个特征向量,求参数a,b及特征向量x所1b2属的特征值.syms a b c;A=[2-c-1 2;5 a-c 3;-1 b-2-c];x=[1;1;-1];A*x [a b c]=solve('-1-c','2+a-c','1+b+c','a,b,c')ans =

-1-c 2+a-c 1+b+c a =-3 b = 0 c =-1 矩阵的相似变换

4111.7设矩阵A222,求一可逆矩阵P,使P1AP为对角矩阵.222A=[4 1 1;2 2 2;2 2 2];[P D]=eig(A)P =

0.5774

0.5774

-0.0000

0.5774

-0.5774

-0.7071

0.5774

-0.5774

0.7071 D =

6.0000

0

0

0

2.0000

0

0

0

-0.0000 2001001.8已知方阵A2x2与B020相似, 求x,y.31100ysyms x;A=[-2 0 0;2 x 2;3 1 1];E=eig(A)y=-2 x=solve(1/2*x+1/2+1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2)-2)y =-2 x = 0 011.9 对实对称矩阵A10110010,求一个正交阵P,使P1AP为对角阵.100002A=[0 1 1 0;1 0 1 0;1 1 0 0;0 0 0 2];[P D]=eig(A)P =

-0.7152

0.3938

0.5774

0

0.0166

-0.8163

0.5774

0

0.6987

0.4225

0.5774

0

0

0

0

1.0000 D =

-1.0000

0

0

0

0

-1.0000

0

0

0

0

2.0000

0

0

0

0

2.0000 1.10 求一个正交变换,化二次型f2x1x22x1x32x2x32x4为标准型.A=[0 1 1 0;1 0 1 0;1 1 0 0;0 0 0 2];[Q D]=eig(A)Q =

-0.7152

0.3938

0.5774

0

0.0166

-0.8163

0.5774

0

0.6987

0.4225

0.5774

0

0

0

0

1.0000 D =

-1.0000

0

0

0

0

-1.0000

0

0

0

0

2.0000

0

0

0

0

2.0000 1.11 已知二次型

222f(x1,x2,x3)x12x2x32x1x24x1x32x2x3

(1)求标准形;(2)求正惯性指数;

(3)判断二次型是否正定.（1）

A=[1 1-2;1-2 1;-2 1 1];[Q D]=eig(A)

Q =

0.4082

0.5774

-0.7071

-0.8165

0.5774

-0.0000

0.4082

0.5774

0.7071

D =

-3.0000

0

0

0

0.0000

0

0

0

3.0000（2）由对角矩阵D得，正惯性指数是1。（3）D=diag([-3,0,3]);

if all(D>0)

disp('二次型正定')

else disp('二次型非正定')

end 二次型非正定