函数的导数和它的几何意义_导数的概念和几何意义

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2.8 函数的导数和它的几何意义

8-A 函数的导数

前一节中描述的例子给出了引进导数概念的方法。我们从至少定义在x-轴上的某个开区间（a,b）内的函数f(x)开始，然后我们在这个区间内选择一点x，引进差商

(8.1)f(xh)f(x),h这里，数h(可以是正的或者负的但不能是0）要使得x+h还在（a, b）内。这个商的分子测量了当x从x变到x+h时函数的变化。称这个商为f在连接x与x+h的区间内的平均变化率。

现在让h→0，看看这个商会发生什么。如果商趋于某个确定的值作为极限（这就推得无论h是从正的方向还是负的方向趋于0，这个极限是一样的），成这个极限为f在x点的导数，记为f /(x)（读作“f一撇x”）。因此，f /(x)的正规定义可以陈述如下：

导数定义。如果

(8.2)f(x)limh0f(xh)f(x),h存在极限，导数f /(x)由等式（8.2）定义。数f /(x)也称为f在x点的变化率。

对比（8.2）与前一节的（7.3），我们看到瞬时速度仅仅是导数概念的一个例子。速度v(t)等于f /(t)，这里f是位移函数，这就是常常被描述为速度是位移关于时间的变化率。在7.2节算出的例子中，位移函数由等式f(t)=144t-32t2表示，而它的导数f / 是由 f /(t)=144-32t给出的新的函数（速度）。

一般地，从f(x)产生f /(x)的极限过程给我们从一个给定函数f获得一个新函数f / 的方法。这个过程称为微分法，f / 称为f的一阶导数。依次地，如果f / 定义在开区间上，我们可以设法求出它的一阶导数，记为f // 并称其为f的二阶导数。类似地，由f(n-1)定义的一阶导数是f的n阶导数记为f(n)，我们规定f(0)= f，即零阶导数是函数本身。

对于直线运动，速度的一阶导数（位移的二阶导数）称为加速度。例如，要计算7.2节中的例子的加速度，我们可以用等式（7.2）形成差商

v(th)v(t)14432(th)14432t32.hh因为这个差商对每一个h≠0都是常数值-32，因此当h→0时它的极限也是-32.于是在这个问题中，加速度是常数且等于-32.这个结论告诉我们速度是以每秒32尺/秒的速率递减的。9秒内，速度总共减少了9·32=288尺/秒。这与运动9秒期间，速度从v(0)=144变到v(9)=-144是一致的。

8-B 导数作为斜率的几何意义

通常定义导数的过程给出了一个几何意义，就是以自然的方式导出关于曲线的切线的思想。图2-8-1是一个函数的部分图像。两个坐标(x,f(x))和(x+h,f(x+h))分别表示P, Q两个点坐标，考虑斜边为PQ的直角三角形，它的高度：f(x+h)-f(x)，表示P, Q两个点纵坐标的差，因此差商

(8.4)f(xh)f(x)

h表示PQ与水平线的夹角α的正切，实数tanα称为通过P, Q两点直线的斜率，而它提供了一种测量这条直线“陡度”的方法。例如，如果f是线性函数，记为f=mx+b，则（8.4）的差商是m, 所以m是这条直线的斜率。图2-8-2表示的是一些各种斜率的直线的例子。对于水平线而言，α=0，因而tanα也是0.如果α位于0与π/2之间, 直线是从左到右上升的，斜率是正的。如果α位于π/2与π之间，直线是从左到右下降的，斜率是负的。对于α=π/4的直线，斜率是1.当α从0增加到π/2时，tanα递增且无界，斜率为tanα相应的直线趋于垂直的位置，因为tanπ/2没有定义，所以我们说垂直的直线没有斜率。

假设f在x点有导数，这就意味着，当h→0时，P点保持不动，Q沿曲线向P移动，通过P, Q两点直线不断改变方向，结果其斜率趋于极限f /(x)。基于这个原因，将曲线在点P的斜率定义为数f /(x)似乎是自然的。通过P点具有这个斜率的直线称为过点P的切线。