2 用解析法求解初等平面几何问题_用解析法解平面几何

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用解析法求解初等平面几何问题

在初等几何的教学中, 常常遇到不同类型的证明题, 一般情况下, 用初等几何有关定义、定理处理比较方便, 但有些题目却要添加辅助线, 发掘隐含条件等高技巧的特殊处理措施, 初学者解题时常遇到困难.如果采用解析法, 有些问题思路反而清晰简单, 具有独特的优点.以下将常见的不同类型证明题的思路加以罗列, 于读者共同研究分析.平面上建立直角坐标系后, 点与有序实数对(a,b)建立了一一对应关系, 直线和圆分别对应与某确定的二元方程.这样, 就可以将几何问题转化为代数问题.将代数问题解决而得到几何问题的证明, 这就是解析法的证明方法.平面解析几何是借助平面坐标系, 利用代数方法来研究平面图形性质的一门学科.通过建立平面坐标系, 平面内的点均可用坐标表示出来, 从而平面图形的性质可以表示为图形上点的坐标之间的关系, 特别是代数关系, 以此实现几何问题与代数问题的相互转化.下面通过两个例题来分析解析法的基本思想方法和解题过程.例8 证明：三角形的三条高交于一点[3].已知AD, EF, CF分别是ABC的三边上的高, 求证：AD, BE, CF相交于一点.证明 如图4所示, 以BC边为x轴, BC边

上的高AD为y轴建立直角坐标系.不防设A,B, C三点的坐标分别为A(0a,), B(b,0), C(c,0).根

据斜率公式得, KABba, KCA, KBC0,ac

又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程, 容易求出三条高所在的直线方程分别为

AD:x0, BE:cxaybc0, CF:bxaybc0.这三个方程显然有公共解, x0, y

交与一点.bc, 从而证明了三角形的三条高相a

例9 一个面积为32cm2的平面凸四边形中, 两条对边与一条对角线的长度之和为16cm试确定另一个对角线的所有可能的长度[3].解 如图5, 建立直角坐标系, 并设平面凸四边形的4个顶点的坐标分别为 A(a,0), B(b,b), C(c,0), D(0,d).根据已知条件有

11SABCDca）d(ca)b32, 2

2|AB|

|CD||AC|

(ac)16.即有

（(db)64(1)ca）2222(2)(ab)bcd16(ac)

2(3)根据图5可知

bd由(1),(2),(3)得(ac)[16(ac)]64,即[(ca)8]0, 所以ca8.且上述不等式只能取等号, 于是得

bd8, c0, ab0.由此可知, a8,b8.所以, 另一条对角线BD的长度为2Y X

图5 |BD

|

cm).从上述两题的解题过程不难看出, 其解

法的关键在于通过建立坐标系, 把原来的几何问题转化成了代数(计算)问题.也就是借助于坐标系, 在点曲线与数组(方程)之间建立起对应关系,以次来实现几

何问题代数化.解析法证明初等几何问题一般步骤[4]：

(1)恰当地选择坐标系, 使题中某些点的坐标、直线和圆的方程呈较简单的形式.(2)根据题目要求, 求出有关点的坐标、直线或圆的方程.(3)从已知条件出发, 以求证的结论为目标, 通过运算、推理出要证的结果.在运用解析法证明初等几何问题时, 必须熟练掌握并善于使用在直角坐标下的有关公式, 定理和方程.如两点间的距离公式、定比分点公式, 直线的斜率公式, 两直线夹角公式, 两直线平行、垂直的充要条件, 直线和圆的各种类型的方程, 圆的切线方程等.以下分类型加以阐述：

2.1 等线段与等角的问题

证明线段的相等或不等, 线段的和差倍分及定值问题, 常用的方法是选定坐标后,再利用两点距离公式, 点到直线的距离等知识来进行运算.例10 如图6, 以RtABC的一条直角边

作直径作圆O, 此圆与斜边AC交于D,过D引圆O的切线交BC于E.求证：BE=CE[4].分析 以B为坐标原点, BA所在直线为

图6 X轴, 建立直角坐标系, 设A（2a,0）, B(0,0),C(0,b), E(0,y0), 则圆O和直线AC的方程可

求, 由AC交圆O可求得出D点的坐标, 再由BE=ED, 可求得E为BC的中点.利用直线斜率公式, 两直线平行、垂直条件及两直线夹角公式, 可证明一些与角的度量有关的题目.处理的方法一般较简单, 只需在选定坐标系以后, 求出有关点的坐标或方程, 进行一些斜率和角度的计算即可

.例11 如图7, 在ABC中, AD⊥BD于D, 且CD=AB+BD, 求证∠ABC=2∠ACB[4].简证 以BC, DA所在直线为坐标, 建立直角坐标系, 设A(0,a), B(-b,0), D(0,0), 则AB=a2b2由CD=AB+BD得出C点坐标(ba2b2,0)

故tan∠ABC=kABa b2a

aba2b2tan2∠ACB==, ab1()ba2b

2又∠ABC及∠ACB均为锐角,所以∠ABC=2∠ACB.2.2 三点共线与三线共点和共点圆的问题

证三点共线, 常用的方法有：(ⅰ)先建立过两点的直线方程, 再验证第三点也适合这个方程;(ⅱ)若能证得kABkBC, 则A, B, C三点共线;(ⅲ)点Ai(Xi,Yi)(i=1, 2, 3)共线的充要条件为

x

1x2

x3y1y20.y3证明三线共点, 常用的方法有：ⅰ)利用定比分点公式, 分别求出三条线上某分点坐标, 若求得相同, 因直角坐标平面上的点和坐标一一对应, 故三线共点;ⅱ)三条互不平行直线li:AixBiyCi0(i1, 2, 3)若

A1

A2

A3B1B2B3C1C2=0, C

3则l1, l2, l3相交于一点.解析法证诸点共圆, 可先求出有关各点坐标, 再利用两点间距离公式证这点

到某一定点的距离相等;也可先建立过三点的圆的方程, 再证其余点适合圆的方程.例12 如图8, 正方形ABCD的边长等于a, 在边BC上取线段BE=a3在边DC的延长线上取CF等于a2, 试证：直线AE和BF的交点M与A、B、C、D共圆.分析 以AD, AB为坐标轴, 引进直角坐标系,因A、B、C、D各点坐标为已知, 故可求出E, F两X

点的坐标然后求出直线AE, BF的方程, 它们的交点M坐标由此可求出, 最后把点M的坐标代入正方形ABCD的外接圆方程, 即可得证.从以上的例子可看出, 解析法证明的优点在于解决几何问题时有一个比较固定的思考步骤, 思路较明显.由一系列的运算与推理即可得到证明的结果.所以, 有些类型的初等几何问题, 用解析法证明较为简便.