高一学生立体几何学习障碍调查分析(蒋美衡)_高一学生学习情况调查

2020-02-27 其他范文下载本文

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高一学生立体几何学习障碍的调查研究

东莞市第八高级中学蒋美衡

【摘要】本文以××学校的高一学生为研究对象，通过问卷调查法和个案访谈法，对高一

学生在立体几何学习时存在的图形障碍（空间想象力）、思维能力障碍和语言障碍等进行了调查分析，并就如何消除障碍进行了探究．

【关键词】高一学生；立体几何；学习障碍；调查研究问题的提出

高一开设的立体几何课，几何体系中的基本元素由“点、线”增加为“点、线、面”，从平面图形上升为空间图形，从“二维空间”变为“三维空间”．知识点难度大、方法新，对学生的空间想象能力、逻辑思维能力等各方面的能力都提出了较高的要求．笔者在一次关于立体几何学习的调查中，有约70%的同学觉得立体几何的学习是“难”或“很难”，即可以说高一学生在立体几何学习感到困难、存在障碍已经成为一个普遍性的问题．

本文通过对238名高一学生的问卷调查，结合个案访谈，对高一学生的立体几何学习障碍这一问题进行了探讨．高一学生立体几何学习的主要障碍

通过调查可以发现，学生在立体几何学习中遇到的障碍是多方面的，有知识性的、能力性的、心理性的、环境性的等等．其中，图形障碍（空间想象能力）和数学思维能力欠缺（定理多，不知道怎么使用定理）成为了学习的主要障碍（表1）．

表1你觉得立体几何的学习难在哪些方面（此题为多选题）

空间想象力不够定理多，记不住

经常不知道怎么使用定理

初中平面几何没学好,对几何题目畏惧其他原因

人数 114 116 109 50 50

百分比 47.9 48.7 45.8 21.1 21.1有效百分比 47.9 48.7 45.8 21.1 21.1

累计百分比 47.9 48.7 45.8 21.1 21.1

2.1图形障碍

图形语言是立体几何学习过程中进行交流的数学工具，是现实对象的空间关系的载体．学生只有完成了从对象到图形的飞跃，才有可能顺利进行后续的学习．学生在学习过程中，由于空间想象力的缺乏，对图形语言的建立存在着以下障碍．

2.1.1 识图障碍

平面几何图形反映形体的真实情况，但在立体几何中，图形往往不能反映形的真实结构和全部特点，学生初学时容易从平面几何的角度看立体图形，学生对立体几何图形的认知，产生了与学生原有知识结构的认知冲突，主要表现在“看到的与想到的不一样”．例如在“水平放置的平面图形的直观图画法”中，正方形、矩形在水平放置后呈平行四边形，以及在图中看上去明显不垂直的两条线段却偏要证明他们互相垂直，明显是锐角的实际却是一个钝角等．在调查中有68.5%的同学对此感到“困惑”或是“很困惑”（表2）．学生对此的适应则需要一定的时间．

表2立体几何图形中的所见与所想不一致给你造成的困惑大吗？

很大大不大几乎没有

人数 59 104 69 6

百分比 24.8 43.7 28.9 2.6

有效百分比

24.8 43.7 28.9 2.6

累计百分比

24.8 43.7 28.9 2.6

2.1.2作图障碍

由于空间想象能力不够，学生往往不易建立空间概念，在头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型，从而反映在做题时不会画图或画出图来也不易辨认，甚至作出错误的图形来，误导了解题且不易查错，从而影响解题．在调查中对于“你能很好的根据题目作出符合要求的立体几何图形吗？”这一问题的回答时，有43%的同学选择了“很难”或“难”．而另外，还有超过80%的同学认为，在求解立体几何问题时，题目有没有图形对解题影响很大（表3）．

表3你觉得在求解立体几何题目时，题目有没有图形对你解题影响大吗？

很大大不大几乎没有

人数 74 119 41

4百分比 31.09 50 17.23 1.68

有效百分比 31.09 50 17.23 1.68

累计百分比 31.09 50 17.23 1.68

例如，对于人教A版必修二教材P64 习题2.2 A组第2题． 2.填空题

（1）已知平面,和直线a,b,c，且a//b//c,a,b,c，则a与的关系是_______（2）平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是___________

此题两问，（1）是以符号语言的形式出现，（2）是以文字语言的形式出现，学生解决问题的最大障碍，则是必须把这两种语言均转化为图形语言，如无法突破此障碍，则无法解题．

又比如：棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、M、N分别是棱AD、AB、C1D1、C1B

1的中点．判断过点E、F、M、N四点的截面的形状．学生在作图时就有如下两种情形，图一由于空间想象力不够和对“截面”基本概念的理解不透而出错．

图一图二

2.2 思维能力障碍

数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动．思维能力应该包括以下几个方面：①会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；②会用归纳、演绎和类比进行推理；③会合乎逻辑

地、准确地阐述自己的思想和观点；④能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质．学生思维能力是否深刻、是否具有逻辑性将直接影响其解题．

2.2.1 概念理解不透，思维过程混乱

理解与掌握数学概念是学好数学、提高数学能力的关键．但由于部分教师的教学原因或学生的学习习惯，学生对基本概念的理解仅仅停留在机械的识记上，不注意概念的内涵和外延以及易混概念间的区别和联系，以为记住了概念就掌握了概念．在调查中发现，对于如正三棱锥与正四面体、长方体与平行六面体、球面与球等这几个基本概念，有44%的同学“很难理解”或“几乎不理解”（表4）

表4你能很好的理解正三棱锥与正四面体、长方体与平行六面体等概念吗？

完全能理解锅基本理解较难理解几乎不理解

人数 20 112 76 30

百分比 8.4 47.06 31.93 12.6

1有效百分比

8.4 47.06 31.93 12.61

累计百分比

8.4 47.06 31.93 12.61

又比如，例在空间四边形中，互相垂直的边最多有()A.1对B.2对C.3对D.4对

此题学生易错，其原因就是误将空间四边形理解成四面体，对空间四边形理解不够深刻．还有，如“异面直线所成的角”、“线面所成的角”、“二面角的平面角”三个“角”的各自定义，以及它们各自的取值范围．学生本身理解就不透彻（有学生就难以明白为什么二面角不是“角”），容易混乱．就算有同学死记硬背记住了，但是也不会灵活运用，具体操作．尤其是线面角、二面角的相关计算，学生往往连角都找不到！在解题时出现障碍也就在所难免了．

2.2.2 定理理解不深，思维过程肤浅

对数学的公理、定理的理解和应用，突出反映在题目的证明和计算上．学生在具体的证明中常常出现逻辑推理不严密，运用定理、公理、法则时没有依据，或以主观臆断代替严密的科学论证等，在解题时，经常的想当然．在调查中发现，有22.69%的同学在证明问题时“表达很不严谨，经常遗漏定理成立的条件．（表5）”．如在使用“线面平行判定定理”时，就经常漏掉“a”这一条件；在使用“面面垂直的判定定理”时，就经常漏掉“a”这一条件；在使用“面面垂直的性质定理”时，就经常错误表述成“,aa”．

表5在立体几何证明题求解时，你的表述过程：

非常严谨

比较严谨，偶尔会遗漏书写定理成立的条件很不严谨，定理中的条件经常遗漏

人数 29 155

54百分比 12.18 47.06 22.69

有效百分比 12.18 47.06 22.69

累计百分比 12.18 47.06 22.69

再如，在添加辅助图形时，学生中经常出现逻辑性不严密，以致作法错误的现象．有学生根据“平面//平面”，就作出“在平面内作直线l//平面”，根据“平面平面”，就作出“在平面内作直线l平面”等等，这些都是因概念、定理理解不到位而导致的混乱．

2.2.3 平面几何的负迁移导致思维转换障碍

许多几何概念和性质在二维空间内成立，在三维空间内已经发生了变化．学生在学习立体几何时，未能摆脱二维空间的束缚，在前提条件相同或部分相似时，把平面几何中的概念和性质错误地迁移到立体几何中来，导致了又一思维障碍的形成．

例如，学生把平面几何中“互相垂直的两条直线一定相交” 迁移到立体几何学习中来，得出“ 经过一点作已知直线的垂线只有一条” 的错误结论．再如，把平面几何中“ 垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质错误地在立体几何中使用，并由此类推出“ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行”的错误结论．这种随意类推、臆造定理的现象在立体几何学习中屡见不鲜．尤其在学习立体几何的起始阶段，把对平面图形的识图迁移到立体几何识图中来，是导致学生思维障碍的重要因素．

2.3 语言障碍

平面几何主要以形象、通俗的语言方式进行表示，而立体几何一开始就借用集合符号来表示空间中的点、线、面之间的关系，使用符号语言进行推理、论证．由于符号本身具有抽象性，易造成学习障碍．如面面垂直的判定定理：“l,l,”，用自然语言学生背诵的非常好，但如果让学生用自然语言来描述这一段符号语言，却有好些学生难以迅速准确的描述．

语言障碍的另一个表现在书面表达障碍．在教学过程中，可以发现学生对解题过程的表达非常混乱．也可经常听到学生说：“这个题我会做，但是就是不知道怎么写！” 在调查中发现，有61.76%的同学在证明立体几何问题时“偶尔有不知道如何表达”，而有29.8%的同学在证明时“经常不知道如何表达．（表6）”可能在很多数学题的解答过程中都存在这个问题，但在立体几何中表现得更为突出．因为立体几何解答表述的精准是建立在学生对题目充分理解后，“翻译”出准确、有效的图形语言的基础上的，而且还要求学生对概念、定理等理解透彻、运用自如．

表6你在解立体几何问题时是否有过不知道如何表达（书写）的情况？

经常有偶尔有几乎没有

人数 71 147 20

百分比 29.83 61.76 8.4有效百分比 29.83 61.76 8.4

累计百分比 12.18 47.06 22.69高一学生立体几何学习障碍的消除策略探究

针对以上学生学习过程中的障碍，教师可以如何帮助学生克服和消除呢？笔者认为有以下几个方面可以努力．

3.1 恰当使用实物或模型，丰富学生感性认知，培养学生空间想象力．

看实物可对空间概念进行原始积累．在日常教学时，引导学生从客观事物中观察分析，有助于它们建立空间概念．如教学“直线与平面的位置关系”时，让学生观察教室里墙角线(直线)、墙面(平面)的关系，讲桌、讲台、黑板所拥有的线、面关系等等．又例如在讲两条直线的位置关系时，让学生根据教室的天花板、地面与四墙壁的关系、黑板边等实物研究两直线的各种不同的位置关系．当学生研究到既不平行也不相交这一新的位置关系时，情绪高涨，一种学习新知识的愿望表露出来．此时，教师适时指出这两条线叫异面直线，再结合定义，异面直线这一重要概念便迎刃而解了，从而有利于学生顺利跨入立体几何的大门了．

看模型可实现空间概念的初步抽象．例如在学习线与线、线与面、面与面关系时，可以利用长方体这一模型进行演示教学．（事实上，教材在整个点、线、面的位置关系这一节中，长方体模型也是反复使用．）

利用课本、笔、桌面等动手“摆”出立体图形也能帮助学生提高认识．如异面直线所成的角、判断空间中线与面、线与线的位置关系时，这种方法简单、直观、准确．有时候，制作简单模型，如折叠纸片等也是一种有效的直观教学手段．如用长方形的纸片折出空间四面体、用等腰三角形折出二面角的平面角等．

当然，还可以利用多媒体课件展示空间三维效果，展示空间图形的形成过程．尤其可以用几何画板多角度、多方位的展示空间图形的形成过程或是内部结构，将更有利于学生空间概念的形成．表7的调查结果也反映了学生们对教师使用实物模型或多媒体课件的需求和认可．

表7你觉得上课时，老师借助几何模型进行讲解时，对你知识的理解和掌握的帮助大吗？

非常大比较大偶尔有帮助没有帮助

人数 25 107 97 9

百分比 10.5 44.96 40.76 3.78

有效百分比

10.5 44.96 40.76 3.78

累计百分比

10.5 44.96 40.76 3.78

3.2 练好学生三项素质

3.2.1 练好识图和正确作图的基本功．

练好识图基本功，让学生能正确观察和认识几何图形，做到既能识别表示各个概念的简单图形，又能在复杂图形中识别表示某个概念的图形．

要培养学生的识图、作图基本功，教师必须高度重视，规范作图，言传身教，在教与学过程中引导学生掌握画图的一些基本规律．教学时教师可以借助投影仪等工具，将表示平面、直线与平面、平面与平面的位置关系等模型(投影图)播放出来，让学生观察、认知．通过观察，使学生认识到：平行的直线或线段的投影图形仍保持平行，但线段的大小一般随投影的角度不同而改变，长方形的投影图是平行四边形；相交两平面的投影图形中有关线、面的一部分能看见，一部分被遮住无法看见等等．最后可以归纳出“虚线看不见，实线看得见；平行能保持，垂直不保持”等作图的基本原则．

如画平面，在学生对长方形(平面)的投影有了初步的感性认识后，可以引导学生动手画长方形的各种投影图(平行四边形)，并进行比较、鉴别，以使学生体会到：把平行四边形的一条边画成水平线，锐角画成45，水平的边长和原长相等，另一条边是长的一半，这样画平面比较方便，图形也比较逼真．

又如，画空间中两条异面直线，可以先让学生自己画，老师也可以在黑板上画出以下四个图形．引导学生发现，通过平面的衬托，异面直线的空间立体感就更明显的了．并由此告诉学生增强图形立体感的方法．

．

3.2.2 掌握三种语言间的相互转化

几何语言是专用语言，它包括文字语言图形语言与符号语言，要想学好它，关键是把图形语言与文字语言相联系，切实掌握文字语言、符号语言和图形语言的互译技能．教师在立体几何教学中，务必对每个定义、定理、公理都要求学生会用三种语言表达，对例题、习题也同样的要求．在调查中，在回答“假如让你重新学习一次立体几何，你觉得以下哪个方面最需要学习好”时，有超过一半的同学选择了“掌握好三种语言的相互转化”，这也是同学们在学完后回头看时的最深、最真切的感受（表8）！

表8假如让你重新学习一次立体几何，你觉得以下哪个方面最需要学习好？

学会准确快速作图

把公理、定义、定理等记牢

人数 28 69

百分比 11.76 28.99

有效百分比 11.76 28.99

累计百分比 11.76 28.99

掌握文字语言、图形语言、符号语言三种语言的相互转化养成规范的答题习惯

52.52 6.7

252.52 6.72

52.52 6.72

山东青岛第二中学的杨冠夏老师对此曾提出“两个凡是”，有很好的借鉴意义．杨老师总结出，凡是纸上写的，就要求学生一字不差地口述出来，并把清晰规范的图形画出来，反之，学生口头陈述的语言，写在纸上，不必改动，就应当是书面语言；第二，凡是学到公理、定义、定理，就应当 “三对照”，有文字(语言)、有图形(语言)、有符号(语言)，三者对照翻译．这两个“凡是”，教师身先士卒，学生紧随其后，在一个阶段内要坚持做下去．学生的识图、作图能力提高了，而且也加深了对定义、定理的理解．

3.2.3 养成“言必有据”的推理习惯

数学推理必须严谨、规范．在立体几何中，推理就必须结合图形，用符号语言规范的、有据有理的进行．所谓 “言必有据”，就是指每一个证明的根据(即逻辑三段论的大前提)必须是我们教科书给出的公理、定义、定理(包括推论和以黑体字出现的习题结论)，不可以自己生理由，不可以随意把一道习题的结论作为根据(这样将没有一个公认的标准)，不可以望图生义，不可以把平面几何结论在非平面条件下不加证明任意搬用，不能说“大家都说对”就当成一个证明依据．

要做到这一点，在起始阶段，在使用定理时，规范好“几推一”．如：

a//

b//a//b



线面平行判定：ba//（三推一）面面平行判定：a

ba

ab



//（五推一）

P

开始使用时，题题规范“几推一”，段段追问“言出何据”，抓住典型错误，反复强化，让学生养成习惯，培养学生逻辑思维能力！

师生未雨绸缪，提前采取措施尽量防止障碍的形成应是学习的最理想状况．而学习障碍一旦形