数学史讲稿——高斯_数学史高斯

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伟大的数学家——高斯

高斯（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，有数学王子的美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉并列，同享盛名。【生平与贡献】

高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。

高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

1784年，18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。

1785年，在高斯19岁时，仅用尺规便构造出了17边形。并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。1799年，高斯完成里他的博士论文，这篇论文给出了一个重要的代数定理：任意一个多项式都有（复数）根。这结果称为“代数学基本定理”。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。

1801年，高斯的《算术研究》一书发表。本书总结了高斯的数论研究，奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。这本书除了第七章介绍代数基本定理外，其余都是数论，可以说是数论第一本有系统的著作，高斯第一次介绍同余的概念，二次互反律也在其中。1801年，意大利的天文学家Piazzi，发现在火星和木星间有一颗新星。它被命名为谷神星。现在我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，但当时天文学界争论不休，有人说这是行星，有人说这是彗星。必须继续观察才能判决，但是Piazzi只能观察到它8度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。高斯这时对这个问是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法他当时没有公布——就是最小二乘法。

1809年他写了《天体运动理论》二册，第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道，第二册他展示了如何估计行星的轨道。高斯在天文学上的贡献大多在1817年以前，但他仍一直做着观察的工作到他七十岁为止。虽然做着天文台的工作，他仍抽空做其他研究。为了用积分解天体运动的微分力程，他考虑无穷级数，并研究级数的收敛问题，在1812年，他研究了超几何级数，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。

1816年左右, 高斯得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华公国(高斯住的地方)的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。

1827年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。在1830到1840年间，高斯和一个比他小廿七岁的年轻物理学家-韦伯一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。1835年高斯在天文台里设立磁观测站，并且组织磁协会发表研究结果，引起世界广大地区对地磁作研究和测量。1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。1841年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。【几个故事】

幼年聪慧

很多伟大的数学家在少年时就表现出数学方面的特别才能，然而高斯的早慧确是令人惊讶的。高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和（1＋100，2＋99，3＋98„„），同时得到结果：5050。这一年，高斯只有9岁。

非欧几何

公元前3世纪，欧几里得从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，建立第一个几何学公理体系－欧几里得几何学。这个理论受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范，但人们感到欧氏几何中仍存在某种瑕疵，其中最使数学家们关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设”（即平行公理）。大家普遍认为，这条公理所说明的事实(通过直线外一点能且仅能作一条平行直线）并不像欧几里得的其他公理那样显而易见，它似乎缺少作为一条公理的自明性。因此，尽管人们并不怀疑平行公理本身，但却怀疑它作为公理的资格。

人们试图用其他公设来证明第五公设，但都以失败告终。到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。人们知道，这其实就是数学中的反证法。但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。例如，在这种几何里，三角形的内角和小于180度。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何。这是第一个被提出的非欧几何学。罗巴切夫斯基的新思想不仅是对欧几里得几何学2000年权威的冲击，而且是对常识的挑战，其所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义。他生前并没有得到他的当代人的赞赏，相反遭到嘲弄。直到他去世后，由于高斯对他的学说予以肯定，他的思想才得到普遍的理解和承认。

其实，最早产生非欧几何基本思想的是德国数学家高斯。高斯早在15岁时就开始考虑第五公设问题，并亲自做了实地测量，来讨论我们生存的空间存在非欧几何性质的可能性。然而高斯深知传统思想的顽固，为了避免受人的攻击和耻笑，一直将自己的发现秘而不宣。他对待新思想的这种保守立场使他在有生之年未能给予非欧几何以根本的推动。几乎与罗巴切夫斯基同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在并将他的结果呈给高斯。但高斯说：“我不能赞扬你，因为赞扬你就是赞扬我自己”。这使鲍耶感到非常气愤和沮丧，甚至怀疑高斯剽窃了他的成果。

高斯的谨慎是他一贯的风格。高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。他自己曾说：“宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果”。据说他发表的成果是他写出来的十分之一，而他写出来的成果是他想到的十分之一。他的想法实在多到来不及记录下来了！

高斯的墓

高斯的墓碑上刻着一个十七角星的几何图案。这个起因于高斯在大学二年级发现正17边形的尺规作图成果。高斯在古典语文和数学方面都具有极高天赋，当时他正徘徊在选择文学还是数学作为终身职业的人生选择路口上。在这个关键的时刻，他发现了用直尺和圆规作出正17边形的方法，用代数的方法解决二千多年来的几何难题。而且他还得出了更漂亮的结果，给出了能用直尺和圆规作出来的正多边形的边数公式。正是这个发现让他最终选择了数学作为自己的终身职业。他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。【历史的评价】

高斯和阿基米德、牛顿一样是人类历史上最伟大的数学家之一，被人们尊敬为“数学王子”。美国的着名数学家贝尔，在他著的《数学工作者》一书里曾经这样批评高斯：“在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔和雅可比可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他力面去。” 这种批评何尝不是对高斯才华的至高赞扬！

高斯一生勤奋好学，多才多艺，喜欢音乐和诗歌，懂多国文字。62岁时学习俄文并在极短时间内达到可以用俄文写作的程度。晚年他还一度学习梵文。在慕尼黑博物馆的高斯画像上有这样一首题诗：

他的思想深入数学，空间，大自然的奥秘，他测量了星星的路径，地球的形状和自然力。

高斯是一个伟大的人