线性代数试题A答案_线性代数考题及答案a

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2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准

一．填空题（本题满分12分，每小题3分）

120025111、1；

2、3；

3、A0031003002；

4、2 313

二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；

4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解1 10Dn001110010001110001110001010020003100010000n

31011分

n1n

3分

解2 10Dn00111001000111000Dn11

3分 101111n

3分

四．（本题满分12分）

解：

⑴ 由等式ABAB，得ABABEE，即

AEBEE

3分 因此矩阵AE可逆，而且AEBE．

2分

1

⑵ 由⑴知，AEBE，即ABEE

11

ABEE

或AB(BE)1

2分 1010301001200010300100101130121000 2分 2120001000010

3分 1001五．（本题满分14分）

解：

110111010221

A01a32b0321a1011101221

4分 0a10b100a10所以，⑴ 当a1时，rArA4，此时线性方程组有唯一解．2分

⑵ 当a1，b1时，rA2，rA3，此时线性方程组无解．2分

⑶ 当a1，b1时，rArA2，此时线性方程组有无穷多组解．2分

此时，原线性方程组化为

x1x2x3x40 x22x32x41因此，原线性方程组的通解为

x1x3x41x2x2x1234 xx33x4x4或者写为 x1111x2212kk

4分 x311200010x3六．（本题满分12分）

3解 AE101202123，2分

03所以得特征值12,233

2分

101对 12，解方程组A2Ex0，由A2E101，得特征向量

001011

00所以对应 12的全部特征向量为c11,c10

3分

001对 233，解方程组A3Ex0，由A3E001110r1100100000，11得特征向量 21,全部特征向量为c21,c20

3分

00A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分

七．（本题满分12分）

1

解：

f的矩阵为A41212 ．…………2分 4因此，二次型f为正定二次型．矩阵A为正定矩阵．矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分

而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D110，D2142，…………2分

41

D3A12412 ．…………2分 4412所以，二次型f为正定二次型．D2420，且D34120

由 D2420，得 22 ．

由 D34120，得 21 ．

因此，得 21 ．

即，二次型f为正定二次型． 21…………4分

八．（本题满分8分）

已知三维向量空间的一组基为

α11，1，0，α21，0，1，α30，1，1

求向量β2，0，0在上述基下的坐标．

解：

设向量β在基α1，α2，α3下的坐标为x1，x2，x3，则有

x1α1x2α2x3α3，2分

写成线性方程组的形式，有

1102x11x20x310

2分 0110即

x1x22x1x30，xx032得唯一解x11，x21，x31，3分，1，1．

1分 因此所求坐标为1九．（本题满分12分）

证法1：记A(1,2,,m),B(1,2,,m,)，显然r(A)r(B).1°因为1,2,,m线性无关，知r(A)m

1分 2°因为1,2,,m,线性相关，知r(B)m1 1分

因此r(B)m，1分

Ax(1,2,,m)xb有解且唯一。

2分

则可由1,2,,m表示，且表示法唯一。

1分

证法2：∵1,2,,m,线性相关，∴存在不全为零的数k1,k2,,km,k，使得

……………………………… 2分 k11k22 kmmk0，若k=0，则k11k22 kmm0，∵

1,2,,m线性无关，k1k2km0矛盾。∴k≠0 kk1k122mml11l22lmm …………2分 kkk若又有bj11j22jmm

0l1j11l2j22lmjmm l1j1，l2j2，，lmjm

即可由1,2,,m线性表示，且表示法唯一.…………2分