线 性 代 数 试 卷(A)_线代a试题与答案

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线 性 代 数 试 卷(A)

一、选择题（每题3分，共15分）

1若矩阵A011.(A)(C)0-1*a101a122的秩r(A)2,则a的值为_____________2(B)(D)0或-1-1或者1

2.设A为正交矩阵，且|A|1,则A__________(A)A T

(C)A

T___

(B)A

3.设,是n维列向量,

0,n阶方阵AE,n3，则

T在A的n个特征值中,必然______________

(A)有n个特征值等于1(B)有n1个特征值等于1(C)有1个特征值等于1(D)没有1个特征值等于1

4.设A,B为n阶方阵，且秩相等，既r(A)r(B),则______________

(A)(C)r(A－B)0r(A,B)2r(A)mn(B)(D)r(AB)2r(A)r(A,B)r(A)r(B)

5.设矩阵A的秩r(A)n,则非齐次线性方程组Axb_____________(A)一定无解(B)可能有解

(C)一定有唯一解(D)一定有无穷多解

二、填空题（每题3分，共15分）

1.设A是n阶方阵A的伴随矩阵，行列式|A|2，则 |2A|=_____________ **42.D中第二行元素的代数余子式的和

j1A2j=__________ ,其中

111111121111111112D =

正定,3.已知实二次型则实常数

a的取值范围为________________

ABAf(x1,x2,x3)x14x22x32ax1x12x2x34.2n阶行列式

a0A0 0a0B________________ ,其中n阶矩阵

0b0b00



000a

00Bb 5.设为正整数，则

三、计算题(每题9分,共54分)1.计算n阶行列式

x1mDn•x1x1x2x2mx2x3x3x3101A=02010，1而n

2A2Ann1______

xnxnxnm•

2.求AXBA1

X矩

010阵

060,B001012021使

21ABX0，其中,A00

2x1x2a3x3a4x4d1x12x2b3x3b4x4d2cxcx2x3xd3433.设非齐次线性方程组1122有三个解向量

12112111 1＝，2＝324，3＝2

i

求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中a为已知常数)

4.已知实二次型 过正交 变换交矩阵Q XQYf(x1,x2,x3),bj,ck,dt=

2x13x23x32x2x3(0)222经,化为标准形

y12y25y3222,求实参数及正5.设线性方程组为，问a,b各取何值时，线性

方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解

6.在四元实向量构成的线性空间R中,求a使,,,为R的基,并求由基,,,到,,,的过渡矩阵P,其中

41234x1x2x33x402x1x23x35x413x12x2ax37x41x1x23x3x4b412341234

四、证明题(每题8分,共16分)1.设 ,, 是欧氏空间V的标准正交基,证明: 12311110111123400110001   

111111101234a2a001100    113(21223)213(21223)313(12223)也是V的标准正交基

2.设fXT1

TAX是n元实二次型,有n维实列向量XT21,X20,使

0X1AXT0，X0AX0, 证明:存在n维列实向量X,使X0AX=0

线性代数考试A 参考答案

一、选择题

1.(A)2.(B)3.(B)4.(D)5.(B)

二、填空题

1.n|2A|2n1*2n1； 2.0； 3.|a|72； 4.(ab)22n；

5.A2A0

三、计算题

1.解 各列加到第一列，提出公因式

1nx2x2m2xnxnxnmn1x2m0xn0Dn(xim)•i11•0(xim)•i10•1x

8分

n =

m

= 分

2.3分(1)n1mn1(xim)i 9

(ABA)XBA11

100002032X0000120219分

3.由题设条件知,,是AX123

3X00011/201/21

b的三个解，因此

2113633－1＝1，3－2＝1

是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵A的秩r(A)2

21又A中有二阶子式12，r(A)2，因此r(A)＝2 3分

因此－，－为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解： 350132

9分

216 k11k21332341＋2，k1,k2为任意常数

4.f的矩阵有特征值 1,2,5

由|A|2(9),0,得

22分

A对应的线性无关的特征向量

12321232A000303，5分

A对应的单位正交特征向量

011121011121003，011，8分

于是正交变换X = QY中的正交矩阵

1200013121

Q(9分

12A315.1121,2,3)=

01121200011

13a3357110110100b110011a40311210b20 3分

当a4时，方程组有唯一解

当a4，b2时，方程组无解

5分

当a4，b2时，r(A)r(A)＝3

21k101100＋，k为任意常数

9分

6.2分

设A(,1解

2：

1a1,3,4),B(,2,3,4),则

1111001000

设(10A0 01110011101111，,2,3,4)(1,2,3,4 4分)P,则

221001000

11Ba12a1

四、证明题 1.证：因为

21a1PABa11a11a1

9分(1,2)19(4(1,1)2(2,2)2(3,3))0,(1,3)(2,3)0

分 12(1,1)119所以,2,3

是V的标准正交基。

(4(1,1)4(2,2)(3,3))1，223218分

2.证:f是不定二次型,设f的正惯性指数为P,f的秩为r，则0Pr, 2 分

f可经非退化线性变换XQY化为规范形

yyyy f=4分

22221PP1r取 Y018分

001T0000T ,则有 X0PY00 使

X0AX=1001000