08线性代数试题_线性代数试题库1

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08-09学年线性代数试题

一、填空题（每小题2分，共10分）

1、设1,2,3均为3维列向量，记B(1,2231,4321), 若|A|2,则|B|

_______.1A

2、设11a101a122，且R(A)2，则a_______.2

3、_______时，向量组1(1,2,3)T，2(2,3,1)T，3(1,3,)T线性相关.4、设齐次线性方程组Axo的一个基础解系为1(1,1,2)T，2(0,3,1)T，则R(A)_______.

5、已知三阶方阵A的特征值为2，3，4，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，则A11A22A33_______.二、单项选择题（每小题2分，共10分）

1、设n阶方阵A经初等变换可化为B，则（）

（A）|A||B|；（B）R(A)R(B)；（C）Axo与Bxo同解；（D）若A可逆，则A1B1.2、设A是3阶可逆方阵，将A的第1行与第3行交换得B，再把B的第2行加到第3行得到C，则满足PAC的可逆阵P为（）

0（A）11100000;（B）011011100;（C）100101000;（D）10110010.1

3、已知n(n3)维向量1,2,3线性无关，则下列向量组线性无关的是（）（A）12,23,31;（B）2142,223,31;（C）12,22,1233;（D）122,2233,331.4、设A为n阶方阵，且Axo有无穷多解，则AATxo（）（A）有无穷多解;（B）仅有零解;（C）有有限个解;（D）无解.5、设A为3阶方阵，其特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆的是（）

（A）EA;（B）2EA;（C）EA;（D）2EA.

三、计算题（每小题6分，共18分）

***

211、计算行列式D4.4

2、设A1121230，且ABA2B,求矩阵B.3

3、求下列向量组的秩与一个极大无关组

102112011, 2, 3, 4

21302514

四、（本大题共2小题，第一小题4分，第二小题10分，共14分）

1、设n阶方阵A的行列式等于0，元素a21的代数余子式A210,求齐次线性方程组Axo的通解.x1x22x33x40x14x3x4

12、对于线性方程组 

3x12x2ax37x41x1x26x3x4b问当a,b取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解，并求有无穷多解时的通解.五、（本题满分8分）

1设矩阵A1124a33有一个2重特征值，求a的值，并讨论A是否可以相似对角化.5

六、（本题满分10分）

已知二次型f(x1,x2,x3)8x127x228x328x1x22x1x38x2x3通过正交变换xPy化为标准形f9y19y2ay3222，试求常数a及所用的正交变换矩阵P.七、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

1、设n维列向量1,2,…,m中的前m1个列向量线性无关，后m1个列向量线性相关，证明：m可以由1,2,…,m1线性表示.2、设n阶方阵A,B满足ABBA，且A有n个互不相同的特征值.证明：A的特征向量都是B的特征向量.参考答案：

一、1.16 ；2.0或-1；3.8；4.1；5.26

二、1.(B);2.(B);3.(C);4.(A);5.(D)3B22891266；3.1,2,49o

三、1.D414； 2.为向量的一个极大无关组.四、1.xk(A21,A22,,A2n)T,kR为Ax11（1）B31102124a63171的通解；

110022a80320010b20

2.0110010b

①当a8,b2，方程组无解；②当a8,b2，方程组有无穷多解；

③当a8,b2，方程组无解；④当a8,b2，方程组有无穷多解.故当aR,b2，方程组无解，当aR,b2方程组有无穷多解，无论a,b取何值方程组都不会有唯一解.10（2）当a8,b2时B0010当a8,b2时B001100110022a8022a8032003200011000000110000020100010000104200120012001111，x000011，x00012.k01141122 kk120100010312332110321

1五、【解】|EA|114a4a3a1

555(2)3a135(2)(8183a)2

2∵A有一个2重特征值，∴若2为A的2重特征值，则8183a(2)(6)23，a2；

若2不是A的2重特征值，则24228183a(4)2，a.当a2时，1A1133，解方程组(2EA)xo5 12EA11222313003200320，11003，201为属于2的两个线性无关的特征向量，设3为属于236的特征向量，1,2,3线性无关，矩阵A可相似对角化.当a时，1A11242/333，解方程(4EA)xo5

34EA11202/3313001022/33160020103303，131为属于4的特征向量，所以矩阵A只存在两个线性无关的特征向量，A不能相似对角化.8A41474148

六、【解】二次型对应的矩阵为，12，3a为矩阵A的特征值，∵123tr(A)，∴a9.当129时，解方程组(9EA)xo

19EA4141641140014001004，1101，20为属于12914111417017的线性无关的特征向量，将其正交化，令4p1110，14(2,p1)p22p10(p1,p1)171，将其单位化，e11p1p1411170，e21p2p211433417

39时，解方程组(9EA)xo

179EA414241140017010114，3410为属于39的特征向量.单位化 111e4令3，33321则P(e1,e2,e3)4171170***17324为所求的正交变换矩阵.32132

1七、1.【证明】 ∵ 1,2,…,m1线性无关，∴2,3,…,m1线性无关.∵ 2,3,…,m线性相关，∴m可由向量组2,3,…,m1线性表示.从而m可以由1,2,…,m1线性表示.2.【证明】设1,2,,n为矩阵A的两两互异特征值，p1,p2,,pn分别为它们对应的特征向量，则有

Apiipi，i1,2,,n，则B(Api)B(ipi)iBpi，∵ABBA，∴A(Bpi)i(Bpi)，如果Bpio，则由于有Bpi0pi，pi为矩阵B的属于特征值0的特征向量，如果Bpio，则Bpi为矩阵A的属于i的特征向

量，由于1,2,,n两两不等，所以存在数k使Bpikpi，pi为矩阵B的属于特征值k的特征向量.由i的任

意性知，矩阵A的任意特征向量都是矩阵B的特征向量.