关于五大魔方难题的看法_论坛五大数字推理难题
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关于五大魔方难题的看法
作者：折翼蚂蝗（编者的话：感谢蚂蝗！）
我是魔方爱好者，并且一直努力成为高手。自从小学时那个可爱的损友送给我一个魔方时起，我就和魔方结下不解之缘。高考结束以来，我又读了一些魔方方面的书籍，对于魔方理论有了更深的了解。最近思考了一些魔方难题，不敢妄称有什么成果，只想在此说一说自己的看法。
表扬批评，都很欢迎；知我罪我，一任诸君！
（一）、六色同堂
问题：如何操作可以使得魔方六面都包含六种颜色，且排布有规律？
严格地说，六色同堂问题仅限于三阶魔方。因为二阶每面只有四块，不可能出现六色；四阶以上的高阶魔方很容易出现每面六色；异型魔方则很难界定形、色的概念。
在德国统一以前，民主德国一家杂志社举办了一场魔方竞赛，其中包含了这个六色同堂问题。最后一名德国妇女胜出，她设计的图案完全符合要求：每一面中心十字由五种颜色组成，四角都是另一种颜色，这个图案非常美观、和谐，得名“六色同堂，四角同色”，也有人叫它“五彩十字”。这个德国妇女获得了“魔方皇后”的称号。
魔方皇后是一位知识女性，她通过计算机程序实现这个图案，用了50步。而我国杨迅文先生在其所著《魔方探胜》一书中，完全根据对图形的分析，手工设计出新的操作步骤，只要49步，胜过了魔方皇后。杨先生的步骤如下：
B’F’L2R2BFUR2L2U2B2F2D’U2 LR’U’LR’F’LR’D’LR’B’D2U2F LR’DLR’BLR’UR2D’U’B’ F’R’L’D’U’B’F’
以上的49步是目前已知步骤数最少的“六色同堂，四角同色”图案。相比之下，魔方皇后的50步操作是略逊一筹的，下面给出她的方法：
（a）D’B2MR2B2MR2D2R2MF2R2MF2D’（b）R2MD2R2MD2MF2MRMF2MR’MD’（c）MF2MDMF2MD’
（d）(FMR’)4(LMD’)4F(LMF’)4F’
我们看到，魔方皇后的方法中运用了大量夹心层操作，而一个夹心层操作际上需要两个动作。杨迅文先生的方法只需要基本的外侧面操作，没有夹心层操作。因此，杨先生的方法虽然只比魔方皇后的方法少1步，但实际操作起来是很方便的。
当然，魔方皇后的方法也有其优点。我们把她的操作记为abcd四段，每一段完成后也都形成很美丽的图案。完成a后是四面H形、两面棋盘；完成b后是六面十字；完成c后是两面十字、四面棋盘。杨先生的方法中，除了中间有几次四角同色外，没有明显的规律性图案出现。
以上两种方法都是通过边块和角块二循环形成，两者互为等效过程。但由于魔方皇后的方法中有许多夹心层操作，所以终局魔方已发生反转与旋转：顶面和底面交换了位置，四个侧面顺时针转了90度（从上向下看）。所以严格来讲，这两个过程并不全等。
以上无论杨先生方法还是魔方皇后方法，操作步骤都很复杂。美国人麦克·莱特发现过一个较简单的、近似六色同堂、四角同色的图案：
U2D2LF2U’DR2BU’D’RLF2RUD’R’LUF’B’
这个过程只要21步，实现了六个面是四角同色，侧面六色同堂，顶面和底面各有5色。缺一色的原因是两个面的中心块和四角颜色相同。无法直接修正。
除了四角同色外，“六彩方中方”也是一种比较有名的六色同堂图案。其步骤如下：
RU(FUD’)2LUD’BUD’RF’
DF’UD’L2DU’F’U’D’R’
D’(B2L2)2B2
L’F’L’FLF’L’FD(F’LFL’)
2F2UF2L2U’FU2F2U2F’UL2
通过以上操作，一对角上出现了二阶方中方，每一面的另外五块是五种不同颜色，因而形成六色同堂。且在整个过程中，魔方的颜色分布一直很有规律，整体美感妙不可言。六彩方中方的操作中，魔方发生八角单循环、四边复循环。现有的大量魔方算法中，恰恰缺少这类高效算法。哪位读者能开发出对顶角块、对棱边块的高效交换算法，就有可能打破上述六彩方中方的55步记录。
关于六色同堂，最后再介绍一种“六面对角线图案”。其操作如下：
FB’FB’RL’RL’(F’RFR’)2U2(RF’R’F)
2(B’RBR’)2D2(RB’R’B)2
FRL’URL’BRL’DRL’R’
DFB’LFB’UFB’RFB’R
这个操作的特点之一就是：有许多形如XYX’Y’的过程。完成状态下，魔方每一面有一条对角线同色，另有两个棱块同色，其它四块颜色各不相同。整个魔方仍然是六色同堂。
需要指出的是，要实现六色同堂且颜色有规律，的确是很困难的。但如果不要求颜色有规律，那么还是有许多简单的方法，如F2B2R2L2D’U’FL’B，和FBRLFBR2L2等许多。希望读者可以创造出既有规律又操作简单的六色同堂图案。
（2）、180度
问题：三阶魔方从原始状态出发，每次只允许做180°旋转，将魔方打乱。现欲将魔方还原，但同样每次只允许旋转180°。如何操作可使其还原？ 联邦德国的《科学画报》在1981年8月刊上提出这一问题后，立即引起魔友的兴趣。在众多解决方案中，来自美国林登的海威希·克拉斯的方法脱颖而出。克拉斯认识到，由于只允许做180°旋转，所以打乱后魔方每面上只有两种颜色，即其自身颜色和对面的颜色。以下简单介绍他的方法（强烈建议读者先自行探索再继续阅读）。
1、角块分类还原
以顶层四个角块为例，它们被打乱后，其分布状态有图一所示的四种基本情况。其它情况可以通过对魔方整体旋转而转化成基本情况。为了把四个角块带回顶面，可设置a、b、c、d四个参数。
对图一a，令a=0，b=0，c=1，d=
1对图一b，令a=0，b=0，c=0，d=1
对图一c，令a=0，b=1，c=0，d=1 对图一d，令a=1，b=1，c=0，d=1
执行操作为：R2a，D2b，F2c，B2d（公式一）
由于参数a、b、c、d的值非0即1，则公式中对R、D、F、B四个面的操作（如果发生的话），都是180°的。参数在公式中的意义下同。
通过公式一使得顶面角块归位后，再来处理前面四个角块。四种基本情况如图二，同样定义四个参数。
对图二a，令a=0，b=0，c=1，d=1
对图二b，令a=0，b=0，c=0，d=1
对图二c，令a=0，b=1，c=0，d=0 对图二d，令a=0，b=1，c=1，d=0
执行操作为：（F2R2F2）b，D2c，U2d（公式二）
至此，八个角块还原完毕。也许读者会问：以上两条公示只处理了两个面，为什么就还原完毕了呢？因为魔方只允许进行180°旋转，所以相对两面的颜色一定是互补的。故还原了顶面角块，底面角块就已经还原；还原了前面角块，后面角块就已经还原；角块两面还原了，第三面就已经还原。因此，在执行公式一和公式二后，八个角块全部还原。
2、棱块分类还原
首先解决一个夹心层上四个棱块中相邻两个的还原。以夹心层MR为例，先考虑棱块uf，基本情况如图三，定义三个参数：
对图三a，令a=1，b=0，c=0
对图三b，令a=0，b=1，c=0 对图三c，令a=0，b=1，c=1
执行操作为：F2(a+c)，U2b，R2，L2，B2a，D2b，R2，L2，F2c（公式三）
通过执行公式三，棱块uf归位。然后整体旋转魔方，将原来的后面转到前面，此时新的uf如果不在正确位置上，只有图四所示两种情况，定义两个参数：
对图四a，令a=1，b=0
对图四b，令a=0，b=1
执行操作为：（D2a，R2，F2，R2，D2b）2（公式四）
通过执行公式四，新的棱块uf归位。此后再通过整体旋转，把夹心层MF调到MR上来，执行公式三和公式四；再把夹心层MU调到MR上来，再执行公式三和公式四，又还原新的两个uf。至此，在理想情况下，12个棱块全部归位，复原完成。在最坏的情况下，有四个棱块还要两两对换，需进一步处理。
3、交换四个边块
通过整体旋转，把需要两两对换的棱块转到如图五所示的位置上，并执行操作为：（F2U2）3（R2F2U2F2）2（公式五），即可完成棱块的调整，从而解决180°问题。
利用克拉斯的方法解决180°问题，理论上最多需要69步（整体旋转不包括在内）。但实际操作中，由于角块还原后，部分棱块已经归位，遇到这样情况时，公式三和公式四可以跳过，或者公式五可以不执行。实际所需步骤往往远小于69步。
最后，值得注意的一点是，在许多三阶花式图案中，每个面上只有两种颜色，而且是相对的颜色。处理这些图案时，使用克拉斯的方法往往比常规方法更简单。
（3）、双人竞赛
问题：假定有一个已还原的三阶魔方，两个玩家A和B。A先操作a步将魔方打乱，B又继续操作b步将魔方再打乱。现在由A开始，每人轮流操作一次，魔方在谁手中被还原谁就胜利，两人都追求胜利。问B胜利的概率是多少（用给定的字母表示）？进一步考虑：若是多阶魔方、多个玩家，每人轮流操作多次，情况又如何？
这是一个复杂的数学问题，且牵涉到拓扑学、群论。本人没有能力完整解决，只能讲一点自己的看法。首先看最基本的情况：两个玩家，每人一次。此时实际上两个玩家都无法胜利，因为两人都追求胜利，故任何一个人不可能将只再需一步就可还原的魔方交给对方。则只能看理论情况，即用极限的思路考虑。
本人以为，如果转动180°允许算是“操作一次”，则后操作的B不可能胜利。还原魔方的必要最多步骤数为a+b，充分最少步骤数为|a-b|，两个数字的奇偶性必然相同。故在两个给定状态之间转换时，无环简单路径的奇偶性必然唯一。亦即从开始到结束，只要a、b给定，则无论用何种方法，到结束（即分出胜负）时所需的步骤数唯一确定。若转动180°算是“操作一次”，则状态转换必为有环过程，需要奇数次才能还原，除非玩家B操作b次后魔方就已经还原，否则A可以在发现自己将要失败时乱拧以此扭转局势。单环有穷步骤无法完成。
限于本人的知识，只能讨论以上情况。至于多阶魔方、多个玩家，每人轮流操作多次的情况，本人以为应该使用螺旋式数学归纳法，一步一步求解。若能在有生之年看到有人完整解答此问题，我死而无憾。
(四)、上帝之数
问题：将三阶魔方打乱，对于每一种状态，将其还原的必要最少步骤数是多少？此问题在数学上更严谨的表述为：对于三阶魔方的每一种状态x，定义函数f（x）=将x状态还原的最少步骤数。则f（x）的最大值是多少？
严格来说，这只是三阶魔方的上帝之数。还有“四阶上帝之数”、“五阶上帝之数”乃至各种异型的上帝之数。这些问题相当复杂，以至于三阶上帝之数至今尚无定论。2010年，美国加利福尼亚大学的科学家用计算机得出上帝之数不大于20。这是至今关于上帝之数的最好成绩。请看研究上帝之数问题的年表： 20世纪80年代，魔方玩家提出上帝之数问题，不久科学家开始思考该问题的求解思路。20世纪90年代初，数学家提出用群论的工具来分析上帝之数问题，并先后得出上帝之数不大于1280、316、51、34、33、31的结论。
1992年德国数学家科先巴提出系统分类、机器证明的新思路，该思路一直影响后世至今。2006 年，奥地利开普勒大学符号计算研究所的拉杜博士证明上帝之数不大于27。2007年，美国东北大学的计算机专家孔克拉和库伯曼使用最大内存高达700万兆的并行计算系统，耗时8000小时，证明上帝之数不大于26。2008 年，研究上帝之数长达15年的计算机高手罗基奇运用了基于科先巴理论的极其巧妙的方法，在短短几个月的时间内对上帝之数展开了四次猛攻，将它的估计值从25一直压缩到了22。很长时间中，人们认为上帝之数就是22。2010年，美国加利福尼亚大学的科学家用超级计算机得出上帝之数不大于20，这是该问题迄今为止的最好结果。魔方的最大魅力在于它的变幻莫测，三阶魔方的不同状态数共有***56000种，约合4.3乘10的19次方。如果你将魔方一秒钟转换一种状态，那么需要近1.4万亿年才能转完所有状态。如果制造出4.3乘10的19次方个标准三阶魔方并一个接一个连接起来，则光速要花256年才能从一端走到另一端。将这些魔方铺在地面上，它们可以覆盖全球高达15米。正是因为魔方如此之多的可能状态，想用穷举的办法解出上帝之数显然不现实。科先巴在1992年指出，所有魔方状态中有一部分可以自成体系，其中约有200亿种状态。将这200亿种状态视为特殊状态，将魔方还原看做两步：先由任意状态转换至特殊状态，再由特殊状态还原，求出总的步骤数。再利用计算机将特殊状态数目扩大，直至扩大到等于魔方的总状态数为止，此时便可求出上帝之数。
科先巴的思路影响后世至今。后世科学家多数以科先巴的思路为基础，改进后配合计算机证明。对上帝之数的研究不仅丰富了数学思想的宝库，也促进了计算机以及编程技术的发展，是魔方科学中的一块瑰宝。
（五）、超级魔方
什么是超级魔方？为了回答这个问题，我们先来看一下n循环的一个性质：若操作X是一个n单循环，则将操作X连续执行n次，魔方将回归原始状态。换言之，公式“Xn”不会使魔方状态发生任何改变，即它是一个恒等过程（记为Xn=I）。如果X是一个n复循环，包含若干长度不同的单循环，则使魔方回归原始状态的必要最少步骤数等于所有单循环长度的最小公倍数。
现在以操作UR为例，它的循环结构为：
(ufl,ulb,bdr,dfr,fur)(uf,ul,ub,fr,dr,br,ur)
这个过程形成2个三循环，长度为9；1个七循环，长度为7。
7、9的最小公倍数为63，则（UR’）63=I。但是，同理，63=15·4+3，故顶面中心块和右面中心块在旋转15个整圈后，又各自旋转了270°，魔方结构上并没有真正还原。
在普通的只涂颜色的魔方上，中心块的这种变化是看不出来的。为了使这种改变“可视化”，人们想了很多办法，常见的是在魔方表面写上数字或字母，或者涂上米老鼠、唐老鸭等卡通形象，以此标记中心块的方向。凡是能显示中心块方向的魔方，就叫“超级魔方”。在魔方还原时，我们不知道它是经过什么操作被打乱的，只能用其它的方法将其还原。在常规还原完成后，出现中心块方向不正确的概率是很大的，约为99.95%！这个概率是如何得出了呢？可以这样考虑：由于魔方内部结构是全对称的，因此以某一个面为参照时，其它五个面可以独立旋转，每个面的方向有四种可能；当五个中心块确定后，另一个中心块的方向只存在两种可能。因此，魔方在经过一系列转动后，六个中心块可能组成的方向共有45·2=2048种，其中只有一种情况是完全归位，故出现中心块方向不正确的概率为2047/2048=99.95%。
超级魔方的问题在普通三阶魔方中并不明显，但在一些三阶的衍生魔方中往往非常重要，如粽子、风火轮等。至今，超级魔方的系统还原还没有一个统一算法，能同时实现颜色和中心块方向的还原。一般做法是先还原颜色，再处理中心块方向。第一个成功解决超级魔方还原的是英国人赫伯特·科齐姆巴，还有克莱林斯等也提出过很好的解决办法。他们的主要结论是两条公式：
ML,MU,MR,U,ML,MD,MR,U’
（URLU2R’L’）2 关于这两条公式，读者不妨亲自一试，看看它们有什么效果。在此，我们向魔方理论大师们致敬！
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