数学好题赏析_经典数学题赏析

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已知函数f(x)=(4^mx)/(4^mx+2)(m∈R)在[1,2]的最小值为2/3.(1)求m的值;

(2)设x1+x2=1.1求证:f(x1)+f(x2)=1;○

2求f(1/101)+f(2/101)+…+f(100/101)的值;○

3试用k(k∈N+)表示f(1/(10k+1))+f(2/(10k+1))+…+f(10k/(10k+1))的值.○

(1)解:依题意得f(x)=1-2/(4^mx+2).若m为负值,则f(x)在[1,2]内单调递减,最小值为f(2),代入2/3=1-2/(4^2m+2),解得m=1/2矛盾,舍弃;

若m为正值,则f(x)在[1,2]内单调递增,最小值为f(1),代入2/3=1-2/(4^m+2),解得m=1.综上所述,m的值为1.1证明:由(1)可得函数f(x)=4^x/(4^x+2).(2)○

4^x14^x24^x1(4^x2+2)+4^x2(4^x1+2)所以f(x1)+f(x2)= ————+———— = ————————————4^x1+24^x2+2(4^x1+2)(4^x2+2)4^(x1+x2)+2(4^x1+4^x2)+ 4^(x2+x1)4+2(4^x1+4^x2)+4

= ——————————————— = ————————— = 1.4^(x1+x2)+2(4^x1+4^x2)+44+2(4^x1+4^x2)+4 2解:f(1/101)+f(2/101)+…+f(100/101)首尾两个为一组形如x1+x2=1 ○的函数,值为1.一共有50组,结果为1*50=50.故f(1/101)+f(2/101)+…+f(100/101)的值为50.3解:与○2同理得f(1/(10k+1))+f(2/(10k+1))+…+f(10k/(10k+1))○

一共有10k/2=5k组形如x1+x2=1的函数,结果为1*5k=5k.故f(1/(10k+1))+f(2/(10k+1))+…+f(10k/(10k+1))的值为5k.