分式型函数求值域的方法探讨_分式函数值域的求法

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分式型函数求值域的方法探讨

在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。axb(ao,b0)（一次式比一次式）在定义域内求值域。cxd

2x12例1：求f(x)（x)的值域。3x2

3241112(x)122233解：f(x)=0, 23x233x23x233x233(x)3

一、形如f(x)

2其值域为y/y 3

一般性结论，f(x)axbd(ao,b0)如果定义域为x/xcxdc,则值域

ay/y c

例2：求f(x)2x1，x1,2的值域。3x

2分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。

12x1222解：f(x)=，是由y向左平移，向上平移得出，通过图3x233x233x

像观察，其值域为, 35

58

小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。a（a0)的值域。x

分析：此类函数中，当a0，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当a0时，a'对函数求导，f(x)12,f'(x)0时，x(,a)a,），f'(x)0时，x

二、形如求f(x)x

x(a,0)(0,a)，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常

其图像

4,(x(1,4)上的值域。x

2解：将函数整理成f(x)2(x)，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在(0,2)x例3：求f(x)2x

单调递减，在(2,)上递增，其在2处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为42,6 

mxnax2bxc

三、用双钩函数解决形如f(x)（m0,a0），f(x)ax2bxcmxn

（m0,a0）在定义内求值域的问题。

t24t1例3：（2010重庆文数）已知t0，则则函数y的最小值为_______.t

t24t11t4，to由基本不等式地y2 解：ytt

例4:求f(x)x1(x1)的值域。2xx

2解：令x1t,则xt1,则f(x)t1t=，(t1)2(t1)2t23t4t43t7其中t0.则由基本不等式得f(x)

4x22x21(x)的值域。例5:求f(x)2x12

t1t14)222(t12tt222解：令t2x1,则x，f(x)==t1 2ttt，其中t0，由基本式得f(x)22

1小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成f(x)x2a(a0)这类型的函x

数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题 ax2bxc(a0,m0)在定义域内求值域。

三、形如f(x)2mxbxc

2x2x1例5：求y2的值域。xx1

分析：当定义域为R时，我们采用判别式法求此类函数的值域。当定义域不为R时，不应采用此法，否则有可能出错。此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。

解：xx10恒恒成立，所以此函数的定义域为xR，将函数整理成关于x的方程，2

yx2yxy2x2x1，(y2)x2(y1)x(y1)0,当y20,关于x的方程

2恒有解，则(y1)4(y2)(y1)0,即1y7，显然，y2也成立，所以其3

值域为y/1y7

3

以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。不要拘泥以上方法，我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。3