高一上数学练习十三(函数值域的几种求法)_高一数学函数值域求法

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高一上数学练习十三(函数值域的几种求法)

（1）

一．配方法。如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域。

1、求函数yx2x的值域

2xt，则解：令1t2x2（t0）于是原函数变为

1t21yt(t1)21,t0,y1，即值域为,1。2

2[评注] 形如yaxbd 的函数均可用此法（换元、配方）求值域。ax2bxc22二．判别式法。一个二次分式函数y(其中ad0)在自变量没有其它限制时就2dxexf

可以用判别式法去值域。其方法是将等式两边同乘以dx

程，方程有实数解则判别式大于零，得到一个关于2exf移项整理成一个关于x的一元二次方y的不等式，解出y的范围就是函数的值域。

2、求yx21的值域。

2xy0yx4xy304，当 y0 时，xR解：；当 时，故 (4)24y(y3)0，解之得1y4；故原函数的值域为：1,4

5的值域 2x2-4x

3223、求y＝解：由函数关系式变形、整理，得2yx-4yx+3y-5＝0，当y＝0时，-5＝0矛盾，故y≠0；∵x∈R ∴Δ＝(-4y)-4·2y(3y-5)≥0，即0≤y≤5，故0＜y≤5，函数的值域为(0，5)

2xx1值域

4、求函数y=x2x

1解：∵x2x1(x1)2330，24

4∴函数的定义域R，原式可化为

整理得(y1)xy(x2x1)x2x1, 2(y1)xy10，10，∴(y1)2-4(y-1)20,解得y3且 y1.3若y=1,即2x=0,则x=0； 若y1,∵R，即有

综上：函数是值域是{y|

y3}.3三．利用函数的单调性求值域的方法。如果函数么就可以利用端点的函数值来求出值域。

5、、求函数

yf(x)在给出的定义域区间上是严格单调的，那

f(x)y

x（1x4）的值域 x

解：因为函数

1和yx都在区间1,4 上单调递减，所以函数f(x)x在区间1,4xx

上是减函数。于是

7f(4)f(x)f(1)即值域为,0。

4

x25x2

4y

6、求函数的值域

y

解：

x25x2

4x24

x24；令

x

ytt4t在2,上单调易知函数

y递增；故

52所以原函数的值域为：2,



四、利用重要不等式求函数值域的方法。对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域。利用基本不等式ab2取等号”的条件。

7、求函数

ab，可求某些函数的值域与最值，但要注意“全正、定值、yx2(1x)(0x1)的值域

yx2(1x)

11xx2(1x)34xx2(1x)[] 22327

解、因为

当且仅当x2(1x)即x

x23x2

124时取等号，所以函数的值域是0,。

327

f(x)

8、求函数的最值。

f(x)

解：

x23x2

1x21

x21

2

2；所以函数有最小值：22，此时x1

五、数形结合的方法。就是将函数与图形有机地结合起来，利用图形的直观性求出函数的值域。

9、求函数

yx24x22x10的值域。

就

是

说

分析：该题的两个根号实际上可以看作是两个两点间的距离公式，也

y

表示的是点

p(x,0)到点A(0,2)的距离与点p(x,0)到点B(1,3)的距离之和。而点p(x,0)是x轴上的任意点，因此该题就可以等价转化为一条直线上的点到两个定点的距离之和的范围。如图所示 的任意点到

x轴上。

A、B两点的距离之和 都大于等于A、B两点间的距离。所以函数的值域是

26,

六、换元法。通过换元我们将生疏的函数结构转化为熟悉函数结构，然后再来求函安息的值域。特别是某些无理函数的值域常用换元法来求。

10、求函数

y2x34x的值域。

4x

不便于计算，但如果令：t

分析与解：由于题中含有

4x注意t0从而得：

13t213t2xy3t(t0)变形得2y(t1)28(t0)即：y(,4]

42七、部分分离法

适用类型：分式且分子.分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为式。

ykf(x)(k为常数)的形

x2x11：求函数y2的值域。

xx

1分析与解:观察分子、分母中均含有

x2x

项,可利用部分分式法；则有

x2xx2x11y21

xx1x2x

1(x)2

4不妨

令：

131

3f(x)(x)2,g(x)(f(x)0)从而f(x),

24f(x)4

注意：在本题中若出现应排除

31

f(x)0,因为f(x)作为分母.所以g(x)故y0,43,1



'

x2x11'

1另解：观察知道本题中分子较为简单,可令y,求出的值域,进而可得到y2

2xxxx的值域。

x5x6的值域

12、求函数y

x2x6

y

把已知函数化为函数

y

(x2)(x3)x

316(x2)

由此可得 y1∵ x=2时

y

11即 y

5x5x6的值域为 { y| y1且 y1}

∴函数y

5x2x613、求下列函数的值域

x2x

（1）y2；（2）yx2x

xx

1解（1）解法1（配方法）

1123

32xx1(x),，而2

244xx1

141

，y12

3xx13

y1

解法2（判别式法）

x2x2

由y2，得（y1)x(1y)xy0。

xx1

y1时，x无解，y1.又R， 必须(1y)24y(1y)0。

y1。y1,函数的值域为y1.33

（2）解法1（单调性）定义域x，函数yx,y2x

 

均在(,1111]是递增，故y2.2222

解法2（换元法）令

1t2, 2xt,则t0,且x2

y(t1)21(t0),y(,].22214、求函数y=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1(m为常数)，当x[0,2] 时的值域.解：∵y=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1，顶点为(m，-m2-1)，顶点横标为m.若m0，则函数在[0,2]上递增，当x=0时，ymin=-1，当x=2时，ymax=3-4m；此时函数的值域是[-1，3-4a].若m2，则函数在[0,2]上递减，当x=0时，ymax=-1，当x=2时，ymin=3-4m；此时函数的值域是[3-4m，-1].若0m2，则再分成两个对称区间讨论（否则最大最小值难确定）：

①若0m1，则x=m时，ymin=-m2-1，x=2时，ymax=3-4m；此时函数的值域是[-m2-1，3-4m]； ②若1m2，则x=m时，ymin=-a2-1，x=0时，ymax=-1；此时函数的值域是[-a2-1，-1].