数学专业学年论文_论文关于数学学困生的

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编号：129040144047

学

年

论

文

题 目：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 学 院：数学学院 专 业：数学与应用数学 年

级：2012级本科(汉班)姓 名：李静 指导教师：白红艳 完成日期：2015年5月6日

摘要

对于嫦娥三号的远近月点速度用逃逸速度公式计算出，卫星空间定位等建立月心坐标系计算出近月点远月点的位置，从而推导出其速度方向．又通过矩阵算法求出嫦娥三号软着陆轨道，并对其软着陆提出最优方案．在问题三种采用初始状态误差模型和传感器误差模型对轨道设计敏感度以及误差进行了评估．最后做出总结．

关键词：嫦娥三号；近月点速度；远月点速度；轨道计算及优化；轨道设计误差分析

-I

目 录

摘要.....................................................................................................................................I Abstract.....................................................................................................................................II 引

言....................................................................................................................................1 1 问题重述..............................................................................................................................1 2 问题分析...............................................................................................................................2 3 模型假设及符号说明...........................................................................................................2

3.1 模型的假设........................................................................................................2 3.2 符号说明...........................................................................................................3 模型的建立及求解...............................................................................................................3 结

语..................................................................................................................................11 参考文献..................................................................................................................................12

-III-

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引

言

嫦娥三号于2013年12月2日成功发射，12月6日抵达月球轨道．计算嫦娥三号远近月点的速度，使用卫星空间定位等建立月心坐标系，从而推导出其速度方向．对于嫦娥三号软着陆轨道，通过矩阵算法求出，并对其软着陆提出最优方案．采用初始状态误差模型和传感器误差模型对轨道设计敏感度以及误差进行评估． 问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道．嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求．在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制．嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）．

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计．其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗．

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向．

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略．

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（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析． 问题分析

上个世纪九十年代以来，世界上的很多国家都制定了相应的月球探测计划，而我国的探月计划，即著名的嫦娥工程也已经实施．自嫦娥一号二号发射成功后，我国又通过改进发射了嫦娥三号，月球探测是一个庞大的工程，包含了诸多的关键技术，其中，卫星的着陆轨道、能否顺利在月球表面软着陆和其软着陆所经历的六个阶段的控制策略是及其需要重视的技术．

月面软着陆要求探月器以很小的相对速度着路在月面上．由于月球上没有空气，探月器必须用机上的发动机来制动．所设计的探月器从月球停泊轨道出发，经霍曼变轨到达近月点时开始制动段，在水平速度减速为零之后进入最终着陆段，最后探测器以垂直姿态软着陆到月面．

软着陆问题的关键是找到最优飞行轨道和推力的大小和方向的时间历程．其理论基础是庞德里亚金极大值原理，由极大值原理及相应边界条件可将轨道优化问题抽象成两点边值问题，而求解该问题的困难就是要解决来自于共轭方程组对共轭变量初值选取异常的敏感性分析．模型假设及符号说明

3.1 模型的假设

略去其他天体引力对探测器运动的影响．

假设在软着陆起始时刻，月球惯性坐标系与月固坐标系重合 假设不考虑月球自传的影响

假设需测量的量均由可导航系统直接测得 假设除主减速外忽略动作调整所产生的质量消耗

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3.2 符号说明

h1 近月点高度 h2 远月点高度 V1 近月点速度 V2 远月点速度

e 偏心率 a 轨道半长轴  真近点角

 右旋升交点赤经i 轨道倾角

 近地点幅角

n 平均角速度

M 平均近点角 E 偏心近点角

 真近点角

r 距离矢量

0是0时刻的升交点经度 0是地球的自转角速度模型的建立及求解

（1）由逃逸速度公式

12mv2GMmRh得 V1=GMh

1R 3

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V2GM

h2R其中R1737.013km，h115km，h2100km，G6.671011Nm2kg2

M7.34771022kg

带入公式得V11.67kms，V21.63kms

椭圆轨道面内的嫦娥三号定位

开普勒方程

ME-esinE()

(4)高斯方程

椭圆轨道面内的嫦娥三号定位 开普勒方程的求解---迭代法 2arctan(1eEtan)

(5)1e2MkEkesinEkMMk 迭代方程 Ek1Ek1esinEk终止条件 Mk1Mk

式中是可接收的最大误差

嫦娥三号对月的定位---星下点轨迹公式

180o(180o90o itan)kt0o(90o90o)经度

(t)0arctan(cos180o(90o180o)纬度 (t)arcsin(iiinn)

求得近月点位置为62.98E,19.51N 远地月位置为19.51E,62.58N（2）嫦娥三号进行软着陆时，首先进行霍曼变轨，进入近地点高度约为15千米，远地点高度约为100千米的椭圆轨道，到达近月点时，主发动机点火提供减速动力，以抛物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零．在距月面2.4千米时，水平速度降为0，成像后调整姿态，嫦娥三号垂直降落至月面．

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1）为计算嫦娥三号的着陆轨道，建立坐标系，如图1所示

图1

设oxyz是原点在月心的惯性坐标系，参考平面为月球赤道面，ox指向月球赤道相对于白道的升交点，oy轴指向月球自传方向，oz轴按右手坐标系确定，oxLyLzL为月固坐标系，参考平面为月球赤道面，oxL沿月球赤道面与起始子午面的交线方向，oyL沿月球自转轴方向，此坐标系是右手坐标系Ax1y1z1为原点在嫦娥三号的轨道坐标系，Ay1指向从月薪到着陆器的延伸线方向Ax1垂直Ay1指向运动方向，Az1按右手坐标系确定．制动发

为p与Ay1轴正向所成夹角，动机推力p的方向与探测器纵轴重合．为p在x1Az1平面上的投影与Ax1轴所成夹角，为Ay1与oy所成夹角，为Ax1在xoz平面上的投影与ox轴所成正向夹角．为月固坐标系相对与惯性坐标系的转角． 因此轨道坐标系到惯性坐标系的转换矩阵可表示为1：

coscosT1cossinsinsincos0sincossinsin

cos惯性坐标系到月固坐标系的转换矩阵可表示为

cosT10sin0sin100 cos 5

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根据牛顿第二定律，得嫦娥三号的轨道方程为

QvesincosmQveGdV1T1cos1dtmmQvesinsinm

其中V1=1.67kms

m2.4t G1为惯性坐标系中月心引力矢量． 2）着陆轨道六个阶段的优化控制．软着陆最优轨道设计 嫦娥三号着月时，需要满足一定的条件

1、着月的速度不能太大以避免损毁嫦娥三号上的设备

2、着月后嫦娥三号的质量越大越好，既燃料剩余越多

3、对于第四阶段，要避免障碍物对探测器的遮挡

4、高精度的着陆轨道计算是进行精细的轨道参数化设计的基础，建立高精度的轨道

计算数学模型涉及四个问题

①天文常数的选取 ②时间与坐标系统的选取 ③日月位置计算方法的选取

④选取基本原则应根据精度的要求等因素尽量进行简化以便使用和加快计算速度． 由于月球没有大气，探测器着陆时无法利用气动力制动，只能利用制动发动机来减速，在很大程度上限制了探测器所能携带的有效载荷的质量．探测器在月面着陆可以分为硬着陆和软着陆．硬着陆对月速度不受限制，探测器装上月球后设备将损坏，只能在内蒙古民族大学本科生学年论文

接近月球的过程中传回月面信息；软着陆对月速度比较小，探测器着陆后可继续在月面进行考察.在文章中，我们针对月面软着陆的问题，基于牛顿第二定律简历月球探测器在三维空间飞行的精确数学模型，考虑实际工程问题，制动发动机采用开关控制的定常推理液体火箭发动机．

软着陆动力学模型

探测器从幻月轨道开始软着陆时，首先进行霍曼变轨，进入一条远月点高度约为100km，金悦点高度约为10km的椭圆轨道；当到达近月点时，制动发动机点火，探测器进入动力下降段；距月面大约两km时，水平速度减为零，调整姿态后，探测器垂直降落至月面．假设月球为均匀引力场，且探测器软着陆过程中的月球自转可以省略，软着陆过程中探测器限定在平面内运动，在此简化假设的基础上，建立如图所示的坐标系．月心O为坐标原点，oy指向折陆转移轨道半月点，rR为探测器到月心的距离；方位角是oy和0r的夹角，为推力方向与本体轴之间的夹角，为探测器速度方向与本体轴之间的夹角，T为推动火箭推力大小，着陆器质心动学方程如图所示2

图二 纵向面软着陆示意图

rv.v..Tsin2r2sin2r2 mrr

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rm..Tcos2vcos2v mT C其中m2.4t，为月球引力常数，C为制动火箭喷气速度

基于障碍函数方法的制导律设计函数方法是将有约束优化问题转化文无约束优化问题的常用办法．为了利用本文所设计的障碍函数方法对月球的最优着陆轨迹进行研究，首先在式子所示的动力学模型进行简单变换

rv.urusinr2r2（2）

 u(ucos2vr)

r.由式子（2）可将软着陆动力学模型表示成如下形式：

r0dv0dt00100000000r0v10100000ur

u01从（3）等式可以看出，通过变换之后的动力学模型在径向和切向是独立的，彼此互不影响，因此可以分别针对探测器径向与切向推力约束对运动轨迹进行设计．下面以径向为例，其推力约束可表示为

在此，选用如下的对数函数作为最优指标

Jlnsecudt

uumax

umaxumin2其中u从所选用的最优指标可以看出，当探测器的推力为约束边界umin、umax时，最优指标将倾向于无穷大，保证了探测器在着陆过程中的推力大小只会在推力约束范围内进

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行变化，从而将原问题从推力约束问题转化为无约束优化问题，使最优轨道的求解大大的简化．

uminurumaxgmumax

（3）在月球探测任务分析与设计阶段，通常需要对地月转移、月球捕获、环月飞行等各轨道段的定轨预报精度进行全面分析，以确定中途修正、近月制动和

动力下降等关键点的轨道精度，这是测控系统总体设计需要约定的重要指标之一．常用的环月轨道精度表示方式是定轨预报误差及其方向的分量，其中R方向指从月心指向测器的方向，N 方向指轨道面法向，T方向指在轨道面内与R、N方向构成右手系的方向．考虑到定轨预报过程的复杂性，定轨误差分量受到测量条件、轨道特性、地月位 置关系等因素的影响，而且这些因素的作用是非线性的，因此，给出环月轨道定轨误差R、T、N分量的合理指标是一个难题．针对上述问题，本文对测距、测速和干涉测量手段获取的测量量建立测量模型，确定探测器状态矢量的信息阵和误差协方差矩阵，进而推导出定轨误ＲＴＮ分量的误差方程和协方差矩阵，给出测量误差对定轨误差ＲＴＮ分量影响的数值关系．考虑到中国探月工程二期任务将实施月球软着陆和巡视探测，开展月表地形地貌、月球地质构造、地月空间与月表环境探测和月基光学天文观测等活动3，为了保证着陆器能成功着陆到指定的着陆区，在任务分析与设计阶段就要重点分析动力下降初始轨道定轨误差及其ＲＴＮ方向的分量．为此，本文在理论分析的基础上，根据中国探月工程二期任务的测站基线分布情况，分析了不同环月轨道探测器位置误差和速度误差ＲＴＮ分量的影响因素、误差水平及３个方向的误差分量，给出了不同环月轨道的位置误差和速度误差的各方向分量的不同特征．1基于敏感系数矩阵的制导误差分析在月球软着陆主制动阶段，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差以及导航与控制传感器误差．初始条件误差由主制动段以 前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定，此外影响制导因素还有月球自传，月球不规则摄动等误差．

1、误差模型建立

①初始状态误差模型

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记嫦娥三号的实际初始状态为Xi，标准初始状态为X0，则定义初始状态偏差为

xiXiX0 对于主制动段的特定飞行过程，这些偏差都是确定的，而针对整个月球探测任务，这些偏差就具有随机性．假设的所有元素都服从零均值高斯分布，相互不独立，其相关性取决于前阶段的任务特性．

2、传感器误差模型 定义待测量为Q

QXYZUVWAT

则，单个测量量的估计误差向量q的地j(j1,2......7)个元素qt来表示．由参考文献可知，第j个观测量的总估计误差 qt有以下四部分组成qttq1q2Qtqqt100j3t4100Qjt

q1 第j个观测量的误差，恒为常值，服从零均值高斯分布，q2 第j个观测量的刻度因素误差系数，服从零均值高斯分布

q3 第j个观测量的随机误差，其为一高斯白噪声

q4 第j个观测量测度因素的随机误差系数，其为一高斯白噪声

4 内蒙古民族大学本科生学年论文

结

语

综上所述，虽然研究和验证，但是限于当月球软着陆的制导和控制问题已经在以前成功实施的探测器上得到了时的计算机技术和控制理论并不是十分先进，软着陆的制导控制办法还是有待于进一步完善．作为我国探月工程二期目标的预先研究项目，在本文中，我们借鉴前人的研究成果，最月球着陆器GNC分系统的重的制导与求分别设计控制系统的需求和应用进行了分析，并依据软着陆不同阶段的具体要求分别设计了制导控制律，通过数值仿真验证了其性能．只要研究内容如下：

(1)月球软着陆制导控制系统研究(2)软着陆动力下降段制导控制方案(3)软着陆中端下降段制导控制方案(4)软着陆全过程仿真研究

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参考文献

[1] 周净扬，周 荻.月球探测器软着陆精确建模及最优轨道设计[J].宇航学报.第28卷第6期.2007；11.[2] 王明春，荆武兴，杨 涤等.能量最省有限推力同平面轨道转移[J]宇航学报.1992（3）；24-31.[3] 李海涛.深空导航无线电追踪测量技术[M].北京：清华大学出版社，2005；8-9.[4] Chen Y W,Liu C S,Chang J R.A chaos detectable and time step-size adaptive numerical scheme for nonlinear dynamical systems[J].Joumal of Sound and Vibeation(S0022-460X),2007,299(4-5):977-989