上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷_上海市春考数学试卷

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2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷

2018年上海市普通高等学校春季

招生统一文化考试

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1．不等式|x|1的解集为__________． 2．计算：lim3n1__________．

nn23．设集合A{x|0x2}，B{x|1x1}，则AB__________． 4．若复数zii（i是虚数单位），则z2__________． z5．已知{an}是等差数列，若a2a810，则a3a5a7__________．

6．已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹为 __________．

7．如图，在长方形ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC4，AA15，O是AC11的第7题图 第12题图

8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．

第 1 页 共 1 页 中点，则三棱锥AAOB11的体积为__________． 2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷

2a9．设aR，若x2与x2的二项展开式中的常数项相等，则a__________．

xx10．设mR，若z是关于x的方程xmxm10的一个虚根，则|z|的取值范围 是__________．

229911．设a0，函数f(x)x2(1x)sin(ax)，x(0,1)，若函数y2x1与yf(x)的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是__________．

12．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲

区”

中．已知点P以1．5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从

C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为

__________秒（精确到0．1）

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）

13．下列函数中，为偶函数的是（）

（A）yx（C）yx212

（B）yx（D）yx

31314．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的棱虽在的直线中，与直线BC 异面的直线条数为（）（A）1（C）3

（B）2（D）4 15．记Sn为数列{an}的前n项和．“{an}是递增数列”是“Sn为递增数列”的（）

（A）充分非必要条件（C）充要条件

（B）必要非充分条件（D）既非充分也非必要条件

16．已知A、B为平面上的两个定点，且|AB2|．该平面上的动线段PQ的端点P、Q，APAB6，AQ2AP，满足|AP|5，则动线段PQ所形成图形的面积为（）

（A）36（B）60

（C）81

第 2 页 共 2 页

（D）108 2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷

三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知ycosx．（1）若f()1，且[0,]，求f()的值； 3（2）求函数yf(2x)2f(x)的最小值．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

x22已知aR，双曲线:2y1．

a（1）若点(2,1)在上，求的焦点坐标；

（2）若a1，直线ykx1与相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值．

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19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛

OC物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，是抛物线的对称轴，OCAB于C，AB3米，OC4.5米．

（1）求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．

图1图2图3

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2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设a0，函数f(x)1． x1a2（1）若a1，求f(x)的反函数f(x)；

（2）求函数yf(x)f(x)的最大值（用a表示）；

1)（3）设g(x)f(x)f(x．若对任意x(,0]，g(x)g(0)恒成立，求a的取值范围．

21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意nN，存在mN，使得

**amcn0，amcn1则称{an}是{cn}的“分隔数列”．

（1）设cn2n，ann1，证明：数列{an}是{cn}的“分隔数列”；

（2）设cnn4，Sn是{cn}的前n项和，dnc3n1，判断数列{Sn}是否是数列{dn}的分隔数列，并说明理由；（3）设cnaqn1，Tn{cn}的前n项和，若数列{Tn}是{cn}的分隔数列，求实数a、q的取值范围．

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参考答案

一、填空题

1．(,1)(1,)

2．3

3．(0,1)

4．2

5．15 x2y2

16．4311．(7．5 8．180 9．4

10．(3,)31119,]

12．4.4

二、选择题

13．A 14．C

15．D

16．B

三、解答题

17．（1）3122；（2）

2618．（1）(1,0)，(1,0)；（2）

51． 219．（1）1；（2）9.59． 4120．（1）f(x)log21x1(0x1)；（2）ymax（x0时取最值）； 2x12aa（3）(0,2]

21．（1）证明略；（2）不是．反例：n4时，m无解；（3）

a0．

q2第 6 页 共 6 页