工科数学分析作业_工科数学分析基础答案

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多

1、多元函数的极限与连续

海因定理：lim

1110810316贾金达

f(P)A的充分必要条件是：P以任何点列、任

PP0何方式趋于P0时，f(P)的极限都是A。

换句话说，当动点P以不同的方式或路径趋于P0时，极限不相等，则可以判定二重极限不存在。例1 求下列极限

1 lim(22(xy)22xxy)e

(2)lim(xy)lnx(y)x0

yy0

解:1 对于充分大的x和y x2y2xyxexyeeexyeey0

或者 x2y2(xy)2

令xyu

则x2y2(xy)2exyexyu2eu

当u时，上式趋于0。

(2)利用极坐标变换

xrsinyrcos

(xy)ln(x2y2)rcossinlnr24rlnr0

例2 

设f(x,y)(x2y2)cos1,x22x2y2y0 0,x2y20

试问在点(0,0)处，是否连续，偏导数是否存在？

f(P)的由于

f(x,y)f(0,0)f(x,y)0 (xy)cos221xy22xy022

所以，f(x,y)在点(0,0)处连续

由偏导数的定义得

fx(0,0)limf(x,0)f(0,0)xx0limxcosx01x0,同理f(0,0)0

y

于是，f(x,y)在点(0,0)处的偏导数存在。

2、偏导数与全微分f(x,y)若在点(x0,y0)处可微，则zf(x,y)在点(x0,y0)fx(x0,y0)处两个偏导数dz和。

fy(x0,y0)都存在，且有=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy 2 则必在(x,y)连续，且该函数在f(x,y)若在点(x0,y0)处可微，(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)都存在。全微分的形式不变性可理解为：对什么变量求偏导数就乘以什么变量的微分，无论这个变量是自变量，还是中间变量。多元函数的复合求偏导不论复合关系多复杂，其基本原则是：有几个中间变量求出来就有几项，每项先对中间变量求偏导再乘以中间变量对自变量的偏导数。例（武汉大学1995）

设二元函数

解：

(1)fx(0,0)fy(0,0)0，易得(2)(x,y)(0,0)12222(xy)cos,xy022 f(x,y)xy220,xy0(1)求fx(0,0)fy(0,0)

(2)证明：fx(x,y)，fy(x,y)在(0,0)(3)证明：f(x,y)在(0,0)不连续

处可微

时

1xy2 fx(x,y)2xcosxxy22sin1xy22

利用极坐标变换

lim111limcossinfx(x,y)lim2rcoscoscossinr0rrr0r(x,y)(0,0)显

然不存在。

故fx在(0,0)不连续，类似可得f在(0,0)不连续。

y(3)证 limzfx(0,0)xfy(0,0)y00

即化为

(xy)cos221xy22

(x,y)(0,0)limxy22limcos010

此式显然成立。

3、隐函数微分法 隐函数可分为由单个方程确定的隐函数以及由隐函数组确定的隐函数，隐函数可以是一元的，也可以是多元的，首先要掌握隐函数的存在唯一性定理，然后再熟悉隐函数求导的公式和程序。

一、单个方程确定的隐函数偏导数的求法

1.公式法

若F对各个变量皆存在连续的一阶偏导数，且Fz0,则由F(x,y,z)0确定的隐函数zz(x,y)也是连续可偏导的，并且有公式

zxFxFzzyFyFz;

2.链式法则的应用

在方程F(x,y,z)0中

zz(x,y)，即

F(x,y,z(x,y))0

上式的两边分别对x，y求偏导，得：

FxFyFzzxFzzy0

03.全微分法

一阶全微分具有形式不变性的优点，可广泛应用于求隐函数的微分以及各个偏导数，且不易出错。

FxdxFydyFzdz0

例1 设zz(x,y)由方程z5xzyz1确定43，求

zxy2|(0,0)。解

在原方程两边对x，y求偏导，分别得到：

5z4zxz4xz43zx33yz2zx0

5z4zy4xz3zyz3yz3zy0以x=y=0代人原方程的z=1，再以x=y=0，z=1代入以上两个偏导数方程得

zx|(0,0)1z,|(0,0)0.2 5y然后再对式子两边关于y求导，并将数据代入得：

zxy2|(0,0)325

例2

设uf(x,y,xyz)，函数z(x,y)由方程g(xyzt)dtexyzxyz确定，其中f可微，g连续，求x

解：令vxyztxyzzuxyuy.z则xyg(xyzt)dt.g(z)zxxyg(v)dv，得方程

zxyg(v)dve两边对x求偏导有 得zxyg(xy)yzeg(z)xyexyzyg(x,y)exyzy(zxzx)，xyz.f1f3y(zxzx)又y和x类似，ux代入并整理得：xuxyuyxf1yf2.二、隐函数组微分法 对于多变量多个方程确定的隐函数偏导数的求法，亦如单个方程的情形，有公式法、利用复合函数偏导数的链式法以及全微分的方法。1.公式法

定理

设隐函数组方程（1）F(x0F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0满足，初始条件；

F,G以及它们的,y0,u0,v0)0,G(x0,y0,u0,v0)0（2）在P(x0,y0,u0,v0)0的某邻域内，函数各个偏导数皆连续；（3）J(F,G)(u,v)在点P0不等于零。

则在点P0的某邻域内，由方程组唯一的确定了两个二元隐函数

uu(x,y),vv(x,y)

并且u(x,y),v(x,y)连续可偏导，求导公式为

1(F,G)J(x,v)1(F,G)J(y,v)uxuy，vxvy1(F,G)J(u,x)1(F,G)J(u,y)。2.复合函数链式法则的应用

对方程组的两边关于x，y分别求偏导数的方法，视u和v为x，y的函数。

FxFuuxFvvx0 GGuGv0uxvxx我们在解题时只要掌握了其中的数学思想，就不必死记硬背某些公式，这样才减轻负担的同时反而提高了学习效率。

3.全微分法

对方程组的两边求微分，利用微分的形式不变性，得到

FuduFvdvFxdxFydy0 GuduGvdvGxdxGydy0这是一种单纯的不易出错的方法，同时采用这种方法也很普遍。

下面对这三种方法举例子： 例

huf(x,y)设函数u(x)是由方程组g(x,y,z)0h(x,z)00,gy0,求dudx.所确定，且

z

分析

方程组含有三个方程，四个变量x、y、z、u，故应该有一个是自由变量。可选取x作为自变量，y、z、u皆是x的一元函数，这样，求导数或是偏导数时才不易出错。解一 对g(x,y,z)0h(x,z)0两边关于x求导数，视yy(x),zz(x),得

gxgyygzz0 hhz0xz解出

uxfxgxfygygzfyhxgyhz。

解二

原方程组求全微分

dufxdxfydygxdxgydygzdz0 hxdxhzdz0一样能够得出结论。

将两种方法做一个比较，不难看出，利用全微分方法简便易行。

例 若u(x,y)的二阶导数存在，证明u(x,y)条件是uuxy2f(x)g(y)的充要

uuxy

（清华大学）

注：方法独特 令vux，原方程化为uvyuy0

vyvuy。

uvu2等价化为即

vv0,知1(x)uyulnux

凑微分得 解得

从而

1(x)

lnu1(x)dx2(y)

uf(x)g(y)。

4.多元函数的极值极值的定义

若在(x0,y0)的某空心邻域内恒f(x,y)f(x0,y0)(或(f(x0,y0))

则称f(x,y)在(x0,y0)取到极大值或是极小值，对于自变量的取值有附加条件的极值称为条件极值。2 极值存在的必要条件

设zf(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在(x0,y0)处有极值，,y0)0，令 则必有fx(x0,y0)0，f(xy0(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，(x0,y0)，BfyxAfxx则：（1）（2）B2A20时，(x0,y0)不是极值点； B2A20时，(x0,y0)为极值点，当

A0时，为极小值点。

注：求极值的基本步骤：先解方程组f(x,y)0,f(x,y)0,所有

xy驻点；对每一个驻点(x0,y0)，求A,B,C的值；由B2AC的符号确定是否为极值点，由A的符号确定是极大值点还是极小值点。条件极值 函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值成为条件极值。求

条件极值的常用方法是拉格朗日数乘法：先构造辅助函数

F(x,y)f(x,y)(x,y),(x,y),Fxfx(x,y)x再解方程组Fyfy(x,y)y(x,y),F(x,y)0,得x，y以及，则其中x，y，就是可能极值点的坐标。类似可求函数uf(x,y,z)在条件(x,y,z)0下的可能极值点。多元函数的最大值、最小值及其简单应用

闭区域上连续多元函数的最大值就是区域内部的极大值和边界上的条件下的极大值中的最大的数，它可能在区域内部或边界上达到。对于实际问题一般根据实际背景来确定是否取最大值，最小值也一样。例

设曲面

x2a2yb22zc221在点P(x,y,z)处使在该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小；并说明函数uaxbycz222在点（1,1,1）处沿向量OP上的方向导数是否是该函数在改点处的方向导数的最大值。【解】曲面

x2a2yb22zc221在P(x,y,z)处的法向量为(xa2,yb2,zc2)，在P处的切平面方程为

xa2(Xx)yb2(Yy)zc2(Zz)0,所以，切平面在x,y,z轴上的截距分别是与三个坐标面所围成的四面体的体积为V1abc6xyz222a2x,b2y2,c2z，于是，切平面

1abc6xyz22，即求条件极值的问题，作F(x,y,z,)(xa22yb22zc221)，求解方程组

FxFyFzF0,0,0,0.解方程并结合实际问题知,当P为(a3b3uyc3a3,b3,c31)时，体积最小。

向量OP=(ux，)的单位向量为

uy(1,1,1)abc222(a,b,c)，又

2a;(1,1,1)2b;(1,1,1)2c;

所以，所求方向的方向导数是2(a2b2c2)，求出u的梯度可知u在(1,1,1)处OP的方向导数是u在点（1,1,1）处的方向导数的最大值。

空间曲线的切线与法平面（略）；

*本章的难点偏微分方程的综合题，其中往往要用到字符的代换

【例1】 设函数f(u)有二阶连续导数且zzx22f(ecosx)y满足

zy22e2yz,zx21,zxx20,求f(u)。

【解】 由复合函数的求导链导法则，可得

zxzyf(u)e(sinx),yzx222yf(u)esin22yxf(u)ecosx,f(u)ecosx,yzx222y22yf(u)ecosxf(u)ecosx,所以

zx22z2z2y2y22yf(u)e.又

zx22f(u)e2y.所以 f(u)f(u).这是一个二阶常系数线性微分方程，解此方程得

f(u)C1eC2euu.将初值条件代入得

C1C212,uu故

f(u)0.5(ee).【例2】设uu(ux22xy)具有连续二阶偏导数，且满足

22uy221u22uxy, xx试求函数u的表达式.【解】 令ruxxy22，则 u变为了只和r有关的因变量。

xdu, rdrux2221duxdu223rrrdrrdr1duydu223rrrdrrdry2x2u22，uy2u22代入原方程，即得

dudrur.2再解二阶常系数线性微分方程方程，得

uC1cosxyC2sin22xyxy2.2222其中C1,C2是任意常数。